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Rekursiv/Explizit Darstellung durch Induktion

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

manuelqed aktiv_icon

14:18 Uhr, 14.08.2017

Hi, meine Frage bezieht sich darauf ob mein Rechenweg richtig ist.
Die Aufgabe:
Stellen Sie eine Vermutung auf für eine explizite Darstellung der rekursiv gegebenen Folge

(a_{n})

mit

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 a_{n - 1}

und

a_{1} = 1, a_{2} = 3

und zeigen Sie diese mit vollständiger Induktion.
Die explizite Darstellung war schnell gefunden:

a_{n} = 3^{n - 1}

Der Beweis:
Induktionsanfang:

a_{1} = 3^{0} = 1

Induktionsbehauptung:

a_{n} = 3^{n - 1}

Induktionsschritt:

a_{n + 1} = 3^{n} = 3^{n - 1} \cdot 3 = 2 \cdot 3^{n - 1} + 3^{n - 1} = 2 \cdot 3^{n - 1} + 3 \cdot 3^{n - 2}

Da ja bei der rekursiven Formel

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 a_{n - 1}

gilt und

a_{n} = 3^{n - 1}

a_{n - 1} = 3^{n - 2}

entspricht.
Nochmal zur Frage, hab ich das richtig gemacht?
Danke schon mal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

14:55 Uhr, 14.08.2017

Grundsätzlich richtig, wenn auch ein bisschen "von hinten aufgezogen".

Normalerweise würde man so schreiben:
Induktionsvoraussetzung:

a_{k} = 3^{k - 1}

für alle

k \leq n

.
Induktionsschritt:

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 a_{n - 1} = 2 \cdot 3^{n - 1} + 3 \cdot 3^{n - 2}

(nach IV) =

2 \cdot 3^{n - 1} + 3^{n - 1} = 3^{n}

manuelqed aktiv_icon

09:01 Uhr, 15.08.2017

Ja Danke

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