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Rekursive Folge - Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Fixpunktiteration, Folge, Folgen, Folgen und Reihen, rekursiv

sstephan aktiv_icon

20:29 Uhr, 05.12.2013

Guten Abend,

ich wäre ganz froh wenn jemand mal kurz über meine Lösung der Aufgabe sehen könnte.

Die Aufgabe lautet: Zeigen sie, dass die rekursive Folge

a_{1} = 100

a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + \frac{2}{a_{n - 1}})

gegen die Gleichung

a^{2} = 2

konvergiert.

Außerdem wird auf die Fixpunktiteration hingewiesen. Die haben wir nur ganz kurz in der Vorlesung angesprohchen und wird in dem Script mit dem ich arbeite so beschrieben:
1. Die Gleichung in die Form

a = f (a)

bringen.
2. Starte mit dem Wert

a_{1}

und bestimme

a_{2} = f (a_{1}), a_{3} = f (a_{2})

...usw.
3. Wenn die Folge

(a_{n})

einen Grenzwert a besitzt, ist dies eine

(!)

Lösung der transzendenten Gleichung.

Nun bin ich so vorgegangen:
Erstmal wollte ich die Gleichung auf

a = f (a)

bringen.
Bei

n \to \infty

haben

a_{n}

und

a_{n - 1}

im Grunde den selben Grenzwert

a

.
In die Gleichung eingesetzt also :

a = \frac{1}{2} (a + \frac{2}{a}) | \cdot 2

2 a = a + \frac{a}{2} | \cdot a

2 a^{2} = a^{2} + 2 | - a^{2}

a^{2} = 2

Ist das so in Ordung und ist der 2. Schritt in der beschriebenen Fixpunktiteration wichtig ? Ich habe den nämlich gar nicht gebraucht.

mfg,
Stephan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

23:39 Uhr, 05.12.2013

Hallo
Ich vermute, du bringst da zwei Dinge durcheinander, die zunächst mal nichts miteinander zu tun haben.
Das eine ist

a)

eine rekursive Folge, und die Aufgabe, deren Konvergenz zu prüfen.
Das andere ist

b)

die Fixpunktiteration.

Du hast eine rekursive Folge gegeben.
Du müsstest streng genommen erst mal deren Konvergenz prüfen.
Abkürzend: Sei versichert, sie ist konvergent.
Falls sie konvergent ist, dann hast du schon ganz richtig argumentiert:
"Bei

n \to \infty

haben

a_{n}

und a_(n−1) im Grunde den selben Grenzwert

a

."
Und auch dein weiteres Fortschreiten war konsequent und richtig. Du hast so korrekt den Grenzwert der rekursiven Folge ermittelt.

Und wie du schon weiters richtig vermutet hast, hat das gar nichts mit Fixpunktiteration zu tun. Da hast du einfach was verwechselt und durcheinander gebracht.
Nebenbemerkung:
Die Fixpunktiteration kann angewandt werden, um implizite Gleichungen auf iterativ numerischem Wege zu lösen. Das brauchst du hier bei dieser konkreten Aufgabe aber nicht.

sstephan aktiv_icon

11:58 Uhr, 07.12.2013

Vielen Dank für die Antwort! Das die Fixpunktiteration nicht zur Aufgabe gehört hab ich mir irgendwie schon gedacht, da hat wohl jemand den Hinweis an die falsche Stelle geschrieben. Danke das Du, dass noch mal verständlich für mich gemacht hast.

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