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Rekursive Folge in explizite Folge umwandeln

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

anonymous

17:26 Uhr, 02.04.2013

Gegeben ist folgendes( siehe Bild).

Meine Frage lautet: Wie komme ich nun von dieser rekursiven Darstellung auf die explizite Form dieser Folge?

Gibt es auch ein allgemeines Vorgehensschema bzw. Tricks um von der rekursiven Form auf die explizite Form zu kommen?

Danke.

michaL aktiv_icon

19:00 Uhr, 02.04.2013

Hallo,

ist denn das explizite Bildungsgesetz die wirkliche Aufgabe oder geht es "nur" um Konvergenz?

Mfg Michael

anonymous

19:38 Uhr, 02.04.2013

Hi michaL,

es geht eigentlich wie du richtig vermutest hast um die Konvergenz bei dieser Aufgabe.

Die eig. Aufgabe lautet: Untersuchen Sie die Folge

(a_{n})

auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Muss ich bei dieser Aufgabe dann nicht die rekursive Form in die explizite Form umwandeln? Wie kann ich den Grenzwert berechnen?

michaL aktiv_icon

19:54 Uhr, 02.04.2013

Hallo,

ein explizites Bildungsgesetz ist zum Nachweis der Konvergenz nicht nötig.
Bedenke: eine monoton steigende und nach oben beschränkte Folge ist konvergent (irgendein zentraler Satz eurer Vorlesung).
Also musst du "nur" diese beiden Eigenschaften nachweisen: Monotonie (aber die richtige) und die Existenz einer zur Monotonie passenden Schranke.
Dann weißt du ja schon, dass die Folge konvergiert.
Mögliche Grenzwerte ergeben sich dann aus der Rekursionsgleichung

a_{n + 1} = \frac{3}{4} a_{n} + \frac{1}{2 a_{n}^{3}}

, indem du (überall)

n \to \infty

laufen lässt. (Bedenke: mit

a_{n} \to a

gilt auch

a_{n + 1} \to a

, wenn

a

der Grenzwert der Folge ist.)

Alles klar?
Ach, ja: Die beiden Nachweise (Monotonie und Beschränktheit) führt man bei rekursiv definierten Folgen üblicherweise per Induktion!

Mfg Michael

anonymous

19:59 Uhr, 02.04.2013

Fast alles klar. Danke auch für deine ausführliche Antwort/Erklärung.
Ok, ich verstehe jetzt nur noch nicht ganz, wie ich

n \to

unendlich laufen lassen soll, da ich ja das

a_{n}

nicht kenne?

MfG

michaL aktiv_icon

20:21 Uhr, 02.04.2013

Hallo,

oh, je...

Also noch einmal von vorn.

Durch den Nachweis der Monotonie und Beschränktheit der Folge bekommst du die Gewissheit, dass die Folge (auch) konvergiert, d.h. das

lim \_{n \to \infty} a_{n}

existiert.
Klar, du weißt deshalb noch nicht, was das für ein Wert (der Grenzwert) ist.

Welche Werte aber höchstens infrage kommen, verrät dir die Rekursionsgleichung. Wenn du dort (formal)

n \to \infty

laufen lässt (d.h.

a_{n}

(und

a_{n + 1}

) durch den Grenzwert - abgekürzt vielleicht einfach

a

- ersetzt), dann bekommst du eine Gleichung, die der Grenzwert der Folge erfüllen muss.
Und da du für die Folge einen sehr begrenzten Bereich bewiesen hast (haben solltest), kannst du von den möglichen Werten alle bis auf einen ausschließen. Und dieser nicht ausgeschlossene ist dann die einzig verbliebene Möglichkeit.
Nach S. Holmes: "Wenn Du das Unmögliche ausgeschlossen hast, dann ist das, was übrig bleibt, die Wahrheit, wie unwahrscheinlich sie auch ist."

Mfg Michael

anonymous

20:32 Uhr, 02.04.2013

Alle klar. Vielen Dank nochmals!

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