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Rekursive Folgen -Teilfolgen und Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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14:54 Uhr, 06.11.2014

Hallo,
ich habe so meine Probleme, mit den Rekursiven Folgen.
Ich verstehe nicht wie man hier Teilfolgen bildet um gegebenfalls Monotonie der Teilfolgen nachzuweisen.

Beispiel:

a_{1} = 1

a_{n + 1} = \frac{2 + a_{n}}{1 + a_{n}}

Wie bilde ich hier Teilfolgen?

Auch habe ich es nicht geschafft, rekursive Folgen mittels Konvergenzkriterium nach Cauchy zu untersuchen. Weiß jemand wo es durchgerechnete gut erklärte Beispiele gibt.
Ich habe das Repetitorium von Wirth und Merziger, tue mir aber teils sehr schwer, da vieles ohne Erklärung durchgerechnet ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:19 Uhr, 06.11.2014

2 Teilfolgen in Deinem Fall: gerade und ungerade Indizes,
also

a_{1}, a_{3}, a_{5}, . . .

und

a_{2}, a_{4}, a_{6}, . . .

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15:23 Uhr, 06.11.2014

Das ist mir klar, aber wie schreibe ich im konkreten Beispiel diese beiden Teilfolgen auf, damit ich mittels Induktion zeigen kann, dass sie tatsächlich monoton sind?

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16:14 Uhr, 06.11.2014

Wenn Du mit "aufschreiben" meinst, dass Du eine Formel für sie bekommst, dann muss ich Dich enttäuschen - es gibt keine Formel. Brauchst Du auch nicht.

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16:33 Uhr, 06.11.2014

Wie führe ich aber dann die Induktion für gerade und ungerade Teilfolgen. In obigem Beispiel liegt eine monoton fallende und eine monoton wachsende Teilfolge (für gerade bzw. ungerade Teilfolgen) vor, wie aber beweise ich diese Tatsache mittels Induktion?

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16:56 Uhr, 06.11.2014

Zuerst ein Zwischenschritt:

a_{n + 2} = \frac{2 + a_{n + 1}}{1 + a_{n + 1}} = \frac{2 + \frac{2 + a_{n}}{1 + a_{n}}}{1 + \frac{2 + a_{n}}{1 + a_{n}}} = \frac{4 + 3 a_{n}}{3 + 2 a_{n}} = 1.5 - \frac{0.5}{3 + 2 a_{n}}

.

Und dann folgt sofort:

a_{n + 2} > a_{n} = > a_{n + 4} = 1.5 - \frac{0.5}{3 + 2 a_{n + 2}} > 1.5 - \frac{0.5}{3 + 2 a_{n}} = a_{n + 2}

und

a_{n + 2} < a_{n} = > a_{n + 4} = 1.5 - \frac{0.5}{3 + 2 a_{n + 2}} < 1.5 - \frac{0.5}{3 + 2 a_{n}} = a_{n + 2}

Das sind Induktionsschritte, die Induktionsanfänge sind offensichtlich.

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11:20 Uhr, 07.11.2014

Danke für die Antwort. Ist dieses Zeichen als

= >

als Implikation zu verstehen?
Muss ich also bei dem IS:

A (n) \to A (n + 1)

statt

A (n + 1)

ein

A (n + 2)

einsetzten?
Der Induktionsanfang ist mir noch nicht ganz klar. Der Induktionsschritt scheint mir für gerade und ungerade gleich zu sein, mit dem Unterschied des umgedrehten

<

. Mach ich den IA jetzt für

x_{1}

und

x_{3}

bzw.

x_{2}

und

x_{4}

? Entschuldige bitte, dass es für mich nicht so offensichtlich ist, da mir der Umgang mit rekursiven Folgen neu ist.

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11:28 Uhr, 07.11.2014

"Danke für die Antwort. Ist dieses Zeichen als => als Implikation zu verstehen?"

Ja.

"Muss ich also bei dem IS: A(n)→A(n+1) statt A(n+1)ein A(n+2) einsetzten?"

Ja. Oder Du machst es so: Du definierst neue Folgen

B (n) = A (2 n)

(gerade Teilfolge) und

C (n) = A (2 n + 1)

(ungerade Teilfolge), dann wäre es der "gewöhnliche" Schritt

B (n) - > B (n + 1)

und

C (n) - > C (n + 1)

für beide.

"Mach ich den IA jetzt für x1 und x3 bzw. x2 und x4? "

Ja, direkt ausrechnen und damit zeigen, dass

A (1) < A (3)

und

A (4) < A (2)

.
Bzw.

a_{1} < a_{3}

und

a_{4} < a_{2}

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