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Rekursives quadratisches Polynom explizite Formel

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenfolgen, polynom, Rekursion, rekursiv

DasHeiligeNabla aktiv_icon

12:56 Uhr, 23.01.2022

Guten Tag,

wenn ich eine lineare Funktion habe wie z.B.

f (x) = a + b x

, und einen gewissen Startwert nehme, z.B.

y_{1} = f (x_{0})

und diesen rekursiv wieder einsetze, also

y_{2} = f (y_{1})

y_{3} = f (y 2)

, usw... dann kann ich hier beispielhaft ein paar Glieder berechnen und merke recht schnell, dass es eine Regelmäßigkeit gibt der Form

y_{n} = b^{n} x_{0} + \sum_{i = 0}^{n - 1} a b^{i}

.

Jetzt möchte ich aber das gleiche für ein quadratisches Polynom machen, also mit

f (x) = a + b x + c x^{2}

, welches ich auf gleicher Art für den Startwert

y_{1} = f (x_{0})

in sich selbst einsetzen möchte. Gibt es hier ebenfalls eine geschlossene explizite Formel für

y_{n}

? Ich habe versucht selbstständig mit Mathematica eine Regelmäßigkeit zu finden, aber die Terme werden bereits ab der dritten Iteration viel zu komplex. Das Hauptproblem ist natürlich der Quadratische Teil, da hier mit wachsenden Iterationen auch immer mehr Summanden als Summe quadriert werden. Weiß da jemand was?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

HAL9000

16:48 Uhr, 24.01.2022

Das ist schwieriger. In Einzelfällen gelingt es, z.B. für

f (x) = 2 x^{2} + 6 x + 3

:

Dann folgt aus

x_{n + 1} = f (x_{n})

nämlich

2 x_{n + 1} + 3 = 4 x_{n}^{2} + 12 x_{n} + 9 = {(2 x_{n} + 3)}^{2}

und somit per Induktion

x_{n} = \frac{{(2 x_{0} + 3)}^{2^{n}} - 3}{2}

für alle

n \in ℕ_{0}

.

Aber das ist die Ausnahme, i.a. klappt das nicht so schön. ;-)

DasHeiligeNabla aktiv_icon

19:47 Uhr, 24.01.2022

Erstmal danke für die Antwort! Leider brauche ich jedoch eine allgemeine Herangehensweise. Der Beweis ist aber ziemlich elegant für den konkreten Fall.

Ich habe selber auch nochmal einiges probiert und nur rausbekommen, dass für

b = a = 0

, also

f (x) = c x^{2}

mit

x_{n + 1} = f (x_{n})

folgt, dass

x_{n} = c^{\sum_{I = 0}^{n - 1} 2^{i}} x_{0}^{2^{n}}

,

sobald aber

c \neq 0 \neq b

oder

c \neq 0 \neq a

gefordert wird, das ganze wieder rasch zu kompliziert wird ohne ein brauchbares Muster zu finden.

HAL9000

07:45 Uhr, 25.01.2022

Ok, den allgemeinen Fall kann man zumindest auf einen übersichtlichen Fall mit nur einem Parameter zurückführen:

Für

f (x) = a + b x + c x^{2}

mit

c \neq 0

können wir folgern

c x_{n + 1} + \frac{b}{2} = c^{2} x_{n}^{2} + b c x_{n} + a c + \frac{b}{2} = {(c x_{n} + \frac{b}{2})}^{2} + a c + \frac{b}{2} - \frac{b^{2}}{4}

.

D.h., mit der linearen Transformation

y_{n} = c x_{n} + \frac{b}{2}

folgt

y_{n + 1} = g (y_{n})

mit

g (y) = y^{2} + d

mit

d := a c + \frac{b}{2} - \frac{b^{2}}{4}

.

Damit ist das ganze schon mal von drei Parametern

a, b, c

auf nur noch den einen Parameter

d

runtergebrochen. Für das Verhalten dieser Iteration bei allgemein komplexen

d

siehe u.a. auch

de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge .

Sowohl dein als auch mein Beispiel fallen unter den Spezialfall

d = 0

, der die Lösung

y_{n} = y_{0}^{2^{n}}

, zurücktransformiert

x_{n} = \frac{1}{c} ({(c x_{0} + \frac{b}{2})}^{2^{n}} - \frac{b}{2})

ermöglicht - in deinem Fall

a = b = 0

wäre das dann

x_{n} = \frac{1}{c} {(c x_{0})}^{2^{n}}

.

P.S.: Eine ähnliche Technik führt im linearen Fall

f (x) = a + b x

mit

b \neq 1

x_{n + 1} - \frac{a}{1 - b} = (x_{n} - \frac{a}{1 - b}) b

und damit letztlich zur expliziten Darstellung

x_{n} = \frac{a}{1 - b} + (x_{0} - \frac{a}{1 - b}) b^{n}

.

Im Fall

b = 1

haben wir dagegen einfach

x_{n} = x_{0} + a n

DasHeiligeNabla aktiv_icon

10:36 Uhr, 26.01.2022

Ok, vielen vielen Dank. Das gibt zumindest mal ein besseren Überblick. Eventuell kann ich es tatsächlich für meinen Zweck so nutzen fällt mir gerade ein. Ich hab nämlich zwei wichtige Bedingungen, über die ich bspw.

c

und

b

festlegen kann.

a

kann ich dann so wählen, dass das

d

in deiner Antwort null wird. Damit gebe ich zwar etwas Genauigkeit auf, priorisieren aber die Berechenbarkeit, was für meine Anwendung wohl wichtiger wäre.

HAL9000

10:42 Uhr, 26.01.2022

Wie ich oben schon angedeutet habe: Im Fall

d \neq 0

hat man i.d.R. wenig Chancen auf eine explizite Darstellung. Wenn du mal einen Blick in den Mandelbrot-Link wirfst, dann siehst du das chaotische Verhalten dieser auf den ersten Blick doch recht unscheinbaren Iteration

x_{n + 1} = x_{n}^{2} + d

, auch schon im Reellen.

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