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Relation "falls x verheiratet ist, dann mit y"

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation., transitiv, Transitivität

anonymous

01:01 Uhr, 01.07.2019

Hallo,
meine Frage betrifft das Thema Relationen. Ich habe da schon mehrere Aufgaben gemacht, aber bei einer bin ich mir nicht sicher, was die richtige Lösung ist.
Aufgabenstellung: Die Relation definiert auf der Menge aller Menschen auf Transitivität untersuchen. Die Relation lautet: "falls

x

verheiratet ist, dann mit y", also

(x, y)

Element

R

und

(y, z)

Element

R \Rightarrow (x, z)

Element

R

Ich habe da raus, das die Relation nicht reflexiv, irreflexiv, nicht symmetrisch und nicht antisymmetrisch ist. Ich hoffe, das ist richtig.
Mein Gedankengang bei der Transitivität ist:
Wenn

x

schon wenn dann mit

y

verheiratet ist, dann kann

x

nicht auch gleichzeitig mit

z

verheiratet sein, also nicht transitiv.
Jedoch könnte man glaube ich doch auch sagen, das die Prämisse schon falsch ist und daher die Implikation richtig, das heißt die Relation ist transitiv, oder?
Weil FALLS

x

verheiratet ist, dann ja mit

y,

somit ist

y

also auf jeden Fall auch verheiratet und das widerspricht sich mit der Aussage, das wenn

y

verheiratet ist, dann mit

z

. Da ich das Thema Relationen gerade erst angefangen habe, bin ich mir unsicher und würde mich über Bestätigung oder das Aufzeigen meiner Denkfehler freuen

\land

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

01:37 Uhr, 01.07.2019

Nichttransitiv ist richtig, aber deine Begründung ist irgendwie falsch.
Jedenfalls bedeutet

(x, y) \in R

nicht, dass

x

mit

y

verheiratet ist.
Daher könnte

(x, z)

durchaus auch Teil der Relation sein. Daraus würde dann, Monogamie vorausgesetzt, folgen, dass

x

nicht verheiratet ist.
Nichtsdestotrotz kann aus

(x, y) \in R

und

(y, z) \in R

nicht

(x, z) \in R

gefolgert werden.
Du hast zwar Recht damit, dass auch aus

(x, y) \in R \land (y, z) \in R

folgt, dass

x

nicht verheiratet ist, aber trotzdem wäre dann nicht zwingend

(x, z) \in R

zu folgern.

Bummerang

02:06 Uhr, 01.07.2019

Hallo,

ich bin der Meinung, dass die Relation so, wie sie hier definiert ist, gar nicht sinnvoll auf Transitivität untersucht werden kann. Ich finde keine Einschränkung die verhindert, dass in der Relation keine Paare von Verheirateten enthalten sind. Es wird nur beschrieben, wie die Paare aussehen, wenn sie gebildet wurden. Aber ob alle möglichen Paare gebildet werden, die dann auf die geforderte Eigenschaft untersucht werden und dann entweder zur Relation hinzugefügt werden oder verworfen werden, das ist eben nicht festgelegt. So ist auch die Relation

{(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

mit beliebigen Singles a und

b

eine Relation, die den hier gegebenen Voraussetzungen vollkommen genügt. Und diese Relation ist transitiv und symmetrisch, aber nicht reflexiv, da nicht alle Paare

(x, x)

enthalten sind. Das ist aber auch schon alles, was man zur gegebenen Relation sicher sagen kann: sie ist nicht reflexiv. Denn dann müßte auch ein Paar

(y, y)

enthalten sein, bei dem

y

verheiratet ist, weil es eben Verheiratete gibt. Aber niemand ist mit sich selbst verheiratet. Also ist die Relation nicht reflexiv. Aber alle anderen Aussagen sind nicht möglich, so lange diese Relation nicht enger definiert wird!

anonymous

02:24 Uhr, 01.07.2019

Ich weiß, das

x

auch einfach nicht verheiratet sein kann, deswegen habe ich geschrieben, FALLS

x

verheiratet ist. Dann kann

x

ja nicht mit

y

UND

z

verheiratet sein. Da die Relation auf der Menge aller Menschen definiert ist, müsste es doch dann auch Menschen

x

geben, die auf jeden Fall heiraten, also gilt es halt nicht für alle

x

Element

M

und somit ist die Voraussetzung für die Transitivität nicht gegeben - oder :-D)?

anonymous

02:26 Uhr, 01.07.2019

² Bumerang: Ich hab mich mit dem "FALLS

x

verheiratet ist.." zum Beispiel auch schwer getan. Ich hab das mal gegoogelt und da meistens Beispielsätze gefunden, wo alles so eindeutig wirkte und bei dem hier fand ich manche Sachen konfus

\frac{:}{}

. Bin aber dennoch überrascht, das du das auch so siehst

anonymous

02:31 Uhr, 01.07.2019

Nochmal Nachtrag zum Beitrag von

2 : 24

von mir: Also wie ich das verstanden habe, ist es schon möglich, das das Ganze für manche

x

gilt, nämlich wenn die Menschen

x

nicht verheiratet sind. Dann sind sie halt weder mit

y

noch mit

z

verheiratet. Aber das ist ja dann nur eine Teilmenge aller möglichen

x

und damit ist die Relation nicht transitiv.
Mein Bauchgefühl sagt mir aber, das mein zweiter Vorschlag (transitiv, weil Prämisse falsch

\to

Implikation richtig) auch richtig sein könnte. Ich bin mir aber nicht sicher, ob ich das, was ich im Themenbereich Aussagenlogik gelernt habe, auch auf Relationen anwenden "darf". Ein Hinweis in der Richtung wäre sehr hilfreich, falls sich jemand auskennt :-).

Roman-22

11:10 Uhr, 01.07.2019

Die Art, wie die Bildung dieser Relation hier beschrieben wird ist auch meiner Meinung nach durchaus verbesserungswürdig.

Eine einigermaßen stimmige Interpretation wäre vl die:
Die Relation umfasst einerseits alle Paare

(a; b)

wenn a und

b

miteinander verheiratet sind

(a

und

b

kommen dann in keinem anderen Paar der Relation mehr vor) und alle möglichen Paarungen zweier unterschiedlicher Menschen aus der Menge der Unverheirateten.
Wir gehen hier von der Zulässigkeit gleichgeschlechtlicher Paarungen aus, sodass wir keine Geschlechtsunterscheidungen machen müssen.
Ich denke aber, dass wir davon ausgehen können, dass kein Mensch mit sich selbst verheiratet sein kann, weswegen er auch solange er noch unverheiratet ist kein potentieller Heiratspartner für sich selbst sein kann.

(a; a)

ist deshalb nie in der Relation vorhanden.

Wenn nun

(x; y)

UND

(y; z)

Teil der Relation sind, so kann das wegen des doppelten Auftretens von

y

nur bedeuten, dass

y

unverheiratet ist, woraus dann auch folgt, dass

x

und

z

unverheiratet sind.

(x; z)

müsste dann auch ein Teil der Relation sein, aber nur, wenn

x \neq z

ist.
Allerdings könnte durchaus

x = z

sein, denn mit

(x; y)

ist ja immer auch

(y; x)

auch in der Relation (Symmetrie). Da aber

(x; x)

nicht Teil der Relation ist, ist in diesem Fall die Transitivität nicht erfüllt.

Diese Relation wäre also nicht transitiv aber symmetrisch.

Aber natürlich kann man die Angabeformulierung auch so verstehen, dass im Falle eines unverheirateten

x

jedes

(x; y)

Teil der Relation ist, egal ob

y

verheiratet ist oder nicht. Aber auch in diesem Fall würde keine Transitivität vorliegen.

anonymous

13:09 Uhr, 01.07.2019

Ich musste das Übungsblatt nun abgeben. Evtl. werde ich dann heute im Laufe des Tages die Lösung erhalten (für manche Übungsaufgaben bekommen wir Lösungen), aber da wird dann nur transitiv oder nicht transitiv stehen. Ich werde das dann hier posten, weil das evtl mal für jemanden hilfreich sein könnte und wer mag, kann mir natürlich gerne seine Gedanken zu der Lösung, bzw. wie man darauf kommt, mitteilen. Ich finde eine solche Diskussion eigentlich ganz interessant :-).

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