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Relation in der Mengenlehre

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Menge, Mengenlehre, Mengentheorie, Relation.

Visugirl aktiv_icon

16:23 Uhr, 08.07.2010

hi,

in Diskrete Mathematik verstehe ich in der Mengenlehre die Relation nicht.
Soweit ich es verstanden habe, ist Relation, eine Beziehung zwischen Mengen.

Satz:
Eine Relation <?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

R

von zwei Mengen A und

B

ist eine Teilmenge von AxB (Produkt).

Das Problem ist jedoch..dass ich zwar auf AxB komme..aber nicht auf

R,

also auf die Relationsmenge.

Beispiel:

A = {1,2,3}; B = {a, b}

AxB

= {(1, a); (1, b); (2, a); (2, b); (3, a); (3, b)}

doch WIE komme ich jetzt auf

R,

auf die Relationsmenge??

Hoffe auf Antwort. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Alx123 aktiv_icon

16:33 Uhr, 08.07.2010

Hallo,
um die Relation

R

zubestimmen muss die Relation auch definiert werden ( bekannt sein ). z.b. sowas wie:

a R b \overset{}{\Leftrightarrow} a < b

Visugirl aktiv_icon

16:38 Uhr, 08.07.2010

achso...es muss sozusagen die Art der Beziehung für <?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

R

bekannt sein.

Der Professor hat einfach ohne Begründung oder Definition jedoch hingeschrieben:

R = {(1, a); (2, b); (3, a); (3, b)}

*verwirrt*

und bei wikipedia das beispiel mit bild, haben die auch einfach ne Relationsmenge ohne Definition hingeschrieben:

"> \Rightarrow

de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)

Alx123 aktiv_icon

16:52 Uhr, 08.07.2010

Genau, also kleines Beispiel:

A = {6, 2, 8} B = {3, 9}

\Rightarrow R \subseteq A \times B = {(a, b) ∣ a \in A, b \in B}

mit

a R b \overset{}{\Leftrightarrow} a - b > 0

\Rightarrow R = {(6, 3), (8, 3)}

Dein Prof hat einfach nur die Relationsmenge hingeschrieben weil es anscheinend nicht nötig war sie explizit anzugeben. Er wollte vielleicht nur deutlich machen das es eine Teilmenge ist.

Das gleiche gilt auch für Wikipedia. So verdeutlicht man ja auch z.b. Injektivität und Surjektivität bei Funktionen ohne sofort eine Funktionsvorschrift anzugeben.

Visugirl aktiv_icon

17:00 Uhr, 08.07.2010

achso, des waren also höchstwahrscheinlich nur Beispiele, dass <?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

R

eine Teilmenge von AxB ist.
stimmt...das glaub ich auch.
vorher dachte ich es gibt so ne allgemeine Relationsmenge ohne Definition für jede Menge.

ok, dann passt es ja.
danke. :-)

Alx123 aktiv_icon

18:46 Uhr, 08.07.2010

Da die Elemente in beiden Mengen vorkommen müssen, beschränkt man sich bei reflexiven, symmetrischen ( u.s.w ) Relationen auf Teilmengen des folgenden kartesischen Produktes:

R \subseteq A \times A

man sagt dann

R

ist eine Relation auf

A

R

heisst reflexiv wenn gilt:

a R a

für alle

a \in A

Das heisst einfach das alle

(a, a) \in A \times A = {(a, b) ∣ a, b \in A}

Die Relationsbedingung erfüllen müssen. Ein Beispiel:

A = {1, 2}

\Rightarrow A \times A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

Die Relation sei:

a R b \overset{}{\Leftrightarrow} a < b

zuzeigen wäre jetzt ob für alle

(a, a) \in A \times A

gilt:

a R a \overset{}{\Leftrightarrow} a < a

Das gilt ja offenbar für kein

(a, a) \in A \times A

verändert man die Relation ein bisschen:

a R a \overset{}{\Leftrightarrow} a \leq a

Dann ist ja die Relation reflexiv, da ja für jede Zahl gilt:

a \leq a

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