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Jn948

Jn948 aktiv_icon

11:36 Uhr, 31.10.2010

Antworten
Hi Leute,
kann mir bitte jemand sagen, in welchem welche Relationseigenschaften vorkommen??


Gegeben seien die Grundmenge sowie Relationen
mit




Prüfen Sie für jede der Relationen, ob sie symmetrisch, transitiv oder reflexiv ist.

Also meine Lösungsvorschläge lauten:

für
-nicht reflexiv da es kein gibt für das gilt
-symmetrisch, da und
nichtt transitiv, da es kein gibt für die gilt

für
-reflexiv, da vorkommen
-nicht symmetrisch, weil für nicht gilt
-transitiv, da

für
-reflexiv, da
-symmetrisch, da
nicht transitiv, da bin ich mir aber nicht sicher

wäre dankbar wenn mal jemand über die Ergebnisse schauen würde. Ich nehme jegliche Kritik entgegen.
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Bummerang

Bummerang

15:04 Uhr, 31.10.2010

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Hallo,


Du mußt Dir die Definitionen immer genau ansehen. Bei der Symmetrie steht an erster Stelle, dass für ALLE Paare die Elemente der Relation sind, gilt: dass auch Element der Relation sein muss. Weil in das Paar enthalten ist, MUSS auch das Paar enthalten sein, damit die Relation symmetrisch ist! Demzufolge ist nicht symmetrisch!

Dein Ausführungen zur Transitivität sind zwar korrekt und ich befürchte, dass Du auch alle Möglichkeiten geprüft hast, aber letzteres ist nur für Transitivität notwendig. Findet man ein Paar, für das das sich ergebende Paar nicht enthalten ist, reicht das aus, damit nicht transitiv ist.


Ist enthalten? Stimmt dann die Aussage der Definition für "reflexiv" für diese Relation?
Wenn man etwas als nicht symmetrisch bezeichnet, dann macht man das der Einfachheit halber mit einem Gegenbeispiel. Versucht man das so wie Du, fällt man gerne mal herein und dann ist die Begründung eine falsche Aussage, so wie bei Dir. Die Paare und erfüllen nämlich die Symmetrieeigenschaft, so wie Du es schreibst, erfüllt kein Paar diese Eigenschaft und das ist falsch!

Bei der Transitivität, wo es wichtig wäre, dass sie für alle Paare gilt, kommst Du dann mit einem Paar als Beispiel daher. Die Relation ist transitiv, aber dazu müsstest Du das entweder für alle Paare zeigen oder so wie bei den anderen hinschreiben, dass dem so ist.


Bei der Reflexivität ist nichts auszusetzen, ist eine Möglichkeit der Begründung. Aber schon bei der Symmetrie steht da nur ein Beispiel. Es muss für alle gelten, . man muss hinschreiben, dass . alle anderen Paare der Form trivialerweise der Symmetrieanforderung genügen. Und wieso Du bei der Transitivität scheiterst, ist mir nicht ganz klar, da man ja bei den Eindruck gewonnen hat, dass Du wüsstest, was zu tun wäre. Die 2 und die 4 tauchen nur in und auf, die können nur mit sich selbst verknüpft werden und als Ergebnis kommen sie selbst raus. Sie sind kein Grund dafür, dass nicht transitiv ist. Bleiben die 4 Paare mit 1 und 3 und da muss man einfach die kombinatorischen Möglichkeiten abchecken, von denen die Hälfte wegfällt, weil das "verbindende Element" nicht gleich ist. Tip: Diese Relation ist transitiv!
Jn948

Jn948 aktiv_icon

17:16 Uhr, 31.10.2010

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erstmal vielen Dank für die aufschlussreichen Begründungen:
ich habe jetzt verstanden, dass man alle Paare, die in den Teilmengen vorkommen auf Reflexivität, Symmetrie und Transivität untersuchen muss. Ich hatte mir gedacht, wenn nur ein Teil der Paare diese Relationseigenschaften erfüllen würden, dann hätte man ihnen die dementsprechende Eigenschaft zuordnen können, was laut deiner Erklärung nicht der Fall ist.

Was ich jetzt bisher nicht vestanden habe, wie man die kombinatorischen Möglichkeiten "abcheckt", wenn ich doch nur noch 4 Paare zur Verfügung habe, oder meinst du, ich sollte mich, um die Transitivität in zu erkennen, überlegen wie die 4 Paare in Verbindung stehen könnten, damit Transitivität entsteht? Also mein Vorschlag wäre und und und können mit sich selbst verknüpft werden. Genügt das, um Transitivität zu zeigen, oder was fehlt noch?

Ich geh von deiner Erklärung aus, dass Symmetrie in vorkommt, da die Tupeln . eine symmetrische Eigenschaft besitzen, denn wenn man die Komponenten vertauschen würde, käm ja wieder das selbe heraus also da so gilt xRy yRx xRx xRx plus die weitere Symmetrie die ich bereits anhand der in der Teilmenge enthaltenen Tupeln gezeigt habe.


Antwort
Bummerang

Bummerang

17:26 Uhr, 31.10.2010

Antworten
Hallo,

"... was laut deiner Erklärung nicht der Fall ist."

Meine Erklärungen sind nur Erklärungen zur Definition. Nicht ich oder meine Erklärungen fordern das "für all", sondern die Definition fordert das!

Wenn Du 4 Paare hast, dann ist für die Überprüfung der Transitivität (rein kombinatorisch) jedes der 4 Paare als erstes Paar geeignet Möglichkeiten) und als zweites Paar ebenfalls (wieder 4 Möglichkeiten). Das macht wegen der Unabhängigkeit Möglichkeiten. Wie bereits gesagt entfällt die Hälfte, weil die eine Hälfte der Paare auf 1 endet und die Hälfte der Paare mit 3 beginnt, also nicht passt. Analog entfallen die Paare, die mit 3 enden und mit 1 beginnen. Beides sind aller Paare und das mal 2 ergibt eben . Bleiben die 8 zu überprüfenden Paare:










Ist das jetzt klar?

Und zu ist alles gesagt, es ist reflexiv, symmetrisch und transitiv, also eine Äquivalenzrelation!
Jn948

Jn948 aktiv_icon

17:31 Uhr, 31.10.2010

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Ok, alles klar, hätte nicht gedacht, dass man das so aufwendig überprüfen muss. Vielen Dank für dein Bemühen.
Jn948

Jn948 aktiv_icon

17:47 Uhr, 31.10.2010

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Hab noch ne kleine Frage. Kann man Transitivität auch durch die folgende Definition ausdrücken:


?
Jn948

Jn948 aktiv_icon

18:31 Uhr, 31.10.2010

Antworten
was ist eigentlich mit


??

sind reflexive Paare eigentlich generell symmetrisch und transitiv?
Antwort
Bummerang

Bummerang

18:37 Uhr, 31.10.2010

Antworten
Hallo,

"Kann man Transitivität auch durch die folgende Definition ausdrücken"

Im Prinzip ja, wenn die Reflexivität vorausgesetzt wird, dann dann gibt es ja auch das Paar mit . Ansonsten wäre die Definition von Dir eventuell gefährdet, weil die eigentliche Forderung, dass in der Relation sein muss übergehbar ist.

Zu den Paaren . Diese erfüllen die Forderung der Symmetrie immer und die der Transitivität auch, wenn es keine gemischten Paare mit und 4 gibt. Denn wegen der Forderung der Transitivität, ein "verbindendes Element" zu haben, kann man dann nur diese Paare selbst zwei Mal auswählen und das Ergebnis ist das Paar selber.
Jn948

Jn948 aktiv_icon

18:45 Uhr, 31.10.2010

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Sprich man kann noch mehr als nur 8 Fälle in auf Transitivität überprüfen??
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