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Relationen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Relation.

8mileproof aktiv_icon

16:20 Uhr, 19.01.2012

hallo, habe folgende aufgabe (siehe Bild1 im Anhang) und eigentlich auch die lösungen dazu(siehe Bild2). aber ich hab nur die ergebnisse. ich weiß nicht wie die drufkommen. wenn mir das jmd. mal erklären, wie ich da vorgehen muss, dann wäre das echt nett.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

18:58 Uhr, 19.01.2012

Zu den Eigenschaften, die zu prüfen sind (jeweils für alle

x

usw.):

Quasiordnung:
- reflexiv:

(x, x) \in R

- transitiv:

(x, y) \in R \land (y, z) \in R \Rightarrow (x, z) \in R

partielle Ordnung:
Quasiordnung und zusätzlich
- antisymmetrisch:

(x, y) \in R \land (y, x) \in R \Rightarrow x = y

Totalordnung:
partielle Ordnung und zusätzlich:
- total:

(x, y) \in R \lor (y, x) \in R

Äquivalenzrelation:
Quasiordnung und zusätzlich
- symmetrisch:

(x, y) \in R \Rightarrow (y, x) \in R

ungerichteter Graph ohne Schleifen:
symmetrisch (wegen "ungerichtet")
und es gibt keine Elemente

x_{0}, x_{1}, ..., x_{n} (n \geq 0)

mit

(x_{0}, x_{1}) \in R, ..., (x_{n - 1}, x_{n}) \in R

und

(x_{n}, x_{0}) \in R

Es bietet sich also zunächst an, auf Reflexivität zu prüfen.

A, B, E, F

sind reflexiv,

C

und

D

nicht (im Gegenteil enthalten diese sogar kein einziges Paar

(x, x))

.
Damit sind

C, D

Kandidaten für die unteren beiden Einträge,

A, B, E, F

für die oberen vier.

Prüfe

A, B, E, F

weiter auf Transitivität, Symmetrie usw., bis du sie eindeutig zuordnen kannst.

D

enthält

(1,4),

aber nicht

(4,1),

ist also nicht symmetrisch und folglich allenfalls "keins davon". Da in jede Zeile eine Menge gehört, müsste

C

der schleifenlose Graph sein (kann man nachprüfen, ist aber überflüssig, wenn die Aufgabenstellung den Nachweis nicht verlangt und als korrekt vorausgesetzt werden darf).

8mileproof aktiv_icon

23:04 Uhr, 19.01.2012

okay, ich glaub ich hab das prinzip verstanden. ich werde auch die weiteren eigenschaften überprüfen. aber eine kleine frage habe ich noch zu reflexivität, was eigentlich auch noch alle anderen eigenschaften betrifft:

und zwar ist mir aufgefallen, dass

z . b

. in der menge A die gleichen paare

(1,1), (2,2)

usw. alle elemente beinhalten. also 1 bis 4. muss das so sein? also konkreter: reicht es auch, wenn bspw. nur

(1,1)

da gestünden hätte? ne, oder?

weil wenn ich jetzt die menge A auf transivität prüfe, dann habe ich zum beispiel

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),

aber bei der 2 hakt es doch, oder ? weil

(2,2), (2,3), (2,4),

ich müsste hier noch ein

(2,1)

haben, nicht wahr?, und mit der 3 ist es ja genauso. da hab ich ja auch nur

(3,3)

und

(3,4)

(3,2), (3,1)

fehlen.
also kann ich nicht doch nicht sagen, dass die menge transitiv ist. ich habe die definition jedenfalls so verstanden, dass es für alle

x

gelten muss.

hab ich das so richtig verstanden?

edit: 2.frage, die beim bearbeiten der aufgaben aufgekommen ist: bei der quasiordnung ist es so, dass es entweder reflexiv oder transitiv sein muss. also eins von den beiden reicht doch aus, um zu sagen, dass es sich um eine quasiordnung handelt. nicht wahr? denn da steht auch kein "und"-zeichen dazwischen.

ich hoffe, ich konnte meine fragen verständlich formulieren....

8mileproof aktiv_icon

14:12 Uhr, 20.01.2012

ähm...folgt aus der reflexivität nicht auch sofort die antisymmetrie?

weil antisymmetrie ist so definiert

(x, y) \in R \land (y, x) \in R \Rightarrow x = y

z . b

. in der menge

A : (2,2) \land (2,2) \Rightarrow x = y

oder etwa nicht?

vulpi aktiv_icon

14:35 Uhr, 20.01.2012

Hi, wenn dem so wäre, dann wäre Antisymmetrie notwendige Bedingung für Reflexivität.
Das sollte zu denken geben.
All- und Existenzaussagen genau unterscheiden :-)

mfg

8mileproof aktiv_icon

14:56 Uhr, 20.01.2012

okay, dann versuch ich mal meine lösungen und lösungswege zu posten, um euch zu zeigen wie ich vorgegangen bin:

also bei der A hatten wir ja schon gesagt, dass sie reflexiv ist. warum ist klar, wir haben 4 identische paare

(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)

. hier kam schon meine 1. frage auf: Müssen alle paare aus der 4-elementigen menge vorhanden sein? also wäre die menge reflexiv, auch wenn nur

(1,1), (2,2), (3,3)

vorhanden wären und

(4,4)

nicht?

nun ja, zu transivität:

da habe ich folgendes aufgeschrieben:

(1,1) \in R (1,2) \in R \Rightarrow (1,2) \in R

(1,2) \in R (2,3) \in R \Rightarrow (1,3) \in R

(1,3) \in R (3,3) \in R \Rightarrow (1,3) \in R

(1,3) \in R (3,4) \in R \Rightarrow (1,4) \in R

(1,4) \in R (4,4) \in R \Rightarrow (1,4) \in R

(2,2) \in R (2,4) \in R \Rightarrow (2,4) \in R

usw.

das habe ich einigermaßen verstanden...

so jetzt ist ja A transitiv und reflexiv. und wenn wir jetzt nachweisen können, dass A antisymetrisch ist, dann muss ja A auch eine partielle ordnung sein.

also antisymmetrisch, wenn gilt

: (x, y) \in R \land (y, x) \in R \Rightarrow x = y

hier wusste ich nicht, ob die elemente

x, y

unterschiedlich sein müssen. ich habe folgendes aufgeschrieben:

(1,1) \land (1,1) \Rightarrow 1 = 1

(2,2) \land (2,2) \Rightarrow 2 = 2

(3,3) \land (3,3) \Rightarrow 3 = 3

(4,4) \land (4,4) \Rightarrow 4 = 4

und hier versteh ich das nicht. das ist doch eigtl. die refelxivität, oder nicht?

aber laut musterlösung muss das antisymmetrisch sein, sonst würden wir ja nicht in der totalordnung landen.

also nehme ich an, dass A reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist

\Rightarrow

partielle Ordnung. es könnte sich also um eine totalordnnung handeln:

total:

(x, y) \in R \lor (y, x) \in R

. das habe ich hingegen verstanden.(JUHUUU!) da gehts ja darum: nehmen wir

x = 1

und

y = 2

also die relation

(1,2) \in R

aus unserer menge A dann:

(1,2) \lor (2,1)

. das bedeutet ja, entweder

(1,2)

oder

(2,1)

. wir haben zwar

(2,1)

nicht in

A,

aber dafür

(1,2)

. das reicht uns . bei den anderen zahlen ist es genauso.
wir haben

(1,3) \in R

aber dafür

(3,1)

nicht usw.

allg. kann ich sagen, dass A total ist und somit eine totalordnung darstellt.

der vollständigkeit halber

: A

ist keine Äquivalenzrelation, da A nicht symmetrisch ist.

8mileproof aktiv_icon

15:11 Uhr, 20.01.2012

okay, ich glaub ich hab antisymmetrisch verstanden, was das sein soll. dazu habe ich mir die menge

B

angeschaut, vulpi.

also die menge

B

ist zwar reflexiv und transitiv, aber NICHT antisymmetrisch, da zum Beispiel

(1,2) \in R

und

(2,1) \in R \Rightarrow 1 \neq 2

also folgt daraus, dass

B

nicht antisymmetrisch sein kann.
in der Menge A haben wir sowas nicht. da haben wir zwar auch

(1,2) \in R

aber

z . b

kein

(2,1),

der die antisymmetrie "killen" würde.

ist das so korrekt?

8mileproof aktiv_icon

19:43 Uhr, 20.01.2012

okay, ich kann jetzt mehr als vorher....ähm....kann mir jmd. sagen wie man minimum und minimal einer menge bestimmmt?

das wäre echt nett...

8mileproof aktiv_icon

15:43 Uhr, 21.01.2012

also der unterschied zwischen minimum und minimal war ja:

minimal : es existiert kein kleineres element.

minimum : alle anderen sind größer.

aber was hilft mir das denn in dieser aufgabe?

hagman aktiv_icon

19:14 Uhr, 21.01.2012

Es ist also

m

minimal, wenn es kein

x \neq m

gibt mit

(x, m) \in R

.
Dagegen ist

m

Minimum, wenn für alle

x \neq m

gilt

(m, x) \in R

8mileproof aktiv_icon

13:29 Uhr, 22.01.2012

okay. in der aufgabenstellung stand ja, dass bzgl. der partiellen ordnung die minimalen zu suchen sind.

ich schreib mal auf, wie ich mir das so erklärt habe (mithilfe deines letzten beitrags ,hagman)

m

ist ja genau dann minimal, wenn es kein

x \neq m

gibt mit

(x, m) \in R

.

da es sich um eine partielle ordnung handelt, schaue ich mir die menge

B

und finde dort

z . b

(1,2)

. 1 und 2 sind ja unterschiedlich. also müsste doch gar kein minimales element existieren, oder? es gibt doch schon ein paar, was unterschiedlich ist....und laut definition müsste es gar keins geben. in der musterlösung steht, dass 4 elemente minimal sind...ich check das nicht

edit: kann mir da jmd. weiterhelfen?

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