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Relationen: Reflexivität, Symetrie, Transitivität,

Universität / Fachhochschule

Tags: Mengenlehre, reflexiv, Reflexivität, Relation., symetrie, transitiv, Transitivität

 
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Beeerman

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17:47 Uhr, 08.11.2018

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Hallo zusammen,

ich dachte ich hatte das Thema verstanden, bin nun aber beim durcharbeiten auf ein Problem gestoßen.

Erstmal die Definitionen, die wir in der VL haben:


Es sei R eine Relation auf AxA. Für die Relation R gilt:

Reflexivität: wenn, ∀x∊A xRx gilt

Symmetrie: ∀x,y∊A mit xRy ⇒ yRx

Transitivität: ∀ x,y,z ∊ A mit xRy Λ yRz ⇒ xRz

Ich hoffe ihr versteht das so weit, besser habe ich es nicht hinbekommen.

Nun zu meiner Frage:

Heißt es nach obiger Definition, dass ich mir bei Reflexivität alle Elemente der Grundmenge anschauen muss und diese müssen sich wiederum in der Relation finden?

Bsp.: A:={1,2,3}R:={(1,1),(2,2),(3,3)}

Während bei Symmetrie oder Transitivität nicht alle Elemente der Grundmenge wichtig sind, sondern nur die, die in Relation stehen bzw. in der Relation auftauchen? Also im Beispiel unten nur die Elemente 1 und 2 der Grundmenge? Denn so wie ich das in den Definitionen verstehe, heißt es ja, dass für alle Elemente x,y von A die Symmetrie gelten muss, also auch für die 3 (denn diese ist ja auch ein Element der Grundmenge und es muss ja für alle gelten?). Könnt ihr mir sagen, wo der Unterschied der Definitionen von Reflexivität und Symmetrie/Transitivität liegt? Spielt das "mit" eine Rolle?


Bsp.: A:={1,2,3}R:={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}

Ich hoffe ich konnte es halbwegs verständlich formulieren.

Schonmal vielen Dank für eure Antworten.

Grüße

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Roman-22

Roman-22

15:00 Uhr, 10.11.2018

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>Heißt es nach obiger Definition, dass ich mir bei Reflexivität alle Elemente der Grundmenge anschauen muss und diese müssen sich wiederum in der Relation finden?
Ja, genau so ist es!

> Während bei Symmetrie oder Transitivität nicht alle Elemente der Grundmenge wichtig sind, sondern nur die, die in Relation stehen bzw. in der Relation auftauchen?
Auch korrekt, ja!

> Bsp.: A:={1,2,3}R:={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}
Diese Relation ist transitiv, symmetrisch, aber NICHT reflexiv, weil (3,3) fehlt.
Die Symmetrie bezieht sich nur auf die in der Relation enthaltenen Paare. Also WENN (2,1) Element der Relation ist, dann MUSS auch (1,2) eine Element der Relation sein, wenn diese als symmetrisch durchgehen soll. Wenn (1,3) nicht in R ist, dann muss (genauer: darf) auch (3,1) nicht drin sein. Also nur WENN (x,y)∈R, dann muss auch (y,x)∈R gelten. Und das muss für alle x,y∈A so sein (das ist vermutlich der Teil der Definition der dich verwirrt).
Ein anderes Beispiel mit ähnlicher Formulierung. Für jeden Schüler einer Schule gelte, WENN er positive Noten hat, wird er versetzt. Das gilt tatsächlich für jeden Schüler der Schule, bedeutet aber nicht, dass jeder Schüler versetzt wird.
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