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Relativ Kompakt
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Guten Tag, bei folgender Aufgabe weiß ich nicht wie ich anfangen soll: Sei eine Untermenge . Zeige, dass F relativ kompakt ist dann und nur dann wenn es eine nichtnegative Folge gibt sodass für alle und alle . sind alle Nullfolgen. MfG, Noah |
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Du kannst diese Tatsache nutzen: math.stackexchange.com/questions/602670/compact-subsets-of-c-0 bzw. math.stackexchange.com/questions/71452/characterisation-of-compact-subsets-of-banach-spaces |
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Ich weiss nicht ob ich das richtig verstanden habe. Die => Richtung scheint ja trivial zu sein. Bei <= muss ich ja zeigen, dass F relativ kompakt ist, dass also der Abschluss kompakt ist. Bzw dass F abgeschlossen und beschränkt ist. Beschränktheit ist gegeben. Folgt Abgeschlossenheit aus der Vollständigkeit von c_0? MfG, Noah |
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"Bzw dass F abgeschlossen und beschränkt ist. Beschränktheit ist gegeben." Nein. Erstens, F muss nicht abgeschlossen sein, da F nur relativ kompakt ist. Abgeschlossen muss der Abschluss von F sein, was er natürlich auch ist. Aber eine beschränkte abgeschlossene Menge ist nur ein einem endlich dimensionalen Raum automatisch kompakt. ist unendlich dimensional, dort ist dieses Kriterium nicht anwendbar. |
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Also muss ich zeigen, dass jede Folge von Elementen aus dem Abschluss von F eine konvergente Teilfolge besitzt? Sei s_n eine solche Folge und s'_n eine Teilfolge. Man muss wegen Vollständigkeit zeigen, dass s'_n Cauchy ist. Der Abschluss von F ist aber abgeschlossen, daher enthält es die Grenzwerte jeder Folgen in F. Daher konvergiert s'_n tatsächlich und somit ist der Beweis fertig? |
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Das ist doch gar kein Beweis. :-O "Sei s_n eine solche Folge und s'_n eine Teilfolge. Man muss wegen Vollständigkeit zeigen, dass s'_n Cauchy ist." Und wo zeigst du das? "Der Abschluss von F ist aber abgeschlossen, daher enthält es die Grenzwerte jeder Folgen in F. Daher konvergiert s'_n tatsächlich und somit ist der Beweis fertig?" Diese "Argumentation" nutzt gar nicht die Tatsache, dass du in bist. Und in einem anderen Raum (z.B. im Raum der beschränkten Folgen) gilt die Aussage nicht. |
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Noch einmal. Nutze die Aussage aus dem Link: ist kompakt genau dann, wenn es abgeschlossen und beschränkt ist und für jedes existiert ein , so dass für alle und . Zentral ist dabei gerade die letzte Eigenschaft (gleichmäßige Konvergenz gegen 0). |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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