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Relative Extrema ohne Nebenbedingung

Schüler Gymnasium,

Tags: Extrema, mehrere Unbekannte, Nebenbedingung

sunxx

21:16 Uhr, 30.12.2012

Hallo,

ich verstehe nicht wie man bei folgenden Aufgaben die Extremwerte berechnet und brauche dringend Hilfe.
Mein Problem hierbei sind die vielen unbekannten, ich weiß nicht wie ich diese auflösen kann (Gleichungs-, Substitutions- und Gleichsetzungsverfahren sind mir bekannt) jedoch haben wir diese Verfahren nie bei solchen Aufgaben angewendet.

Bei der 1. Aufgabe sind mir die Ableitungen bekannt, bei den nächsten Aufgaben leider nicht

1.

f (x, y) = x^{3} - 2 x^{2} y^{2} + y^{4} + 10

ich hoffe diese Ableitungen sind schon mal richtig

f' x = 3 x^{2} - 4 x \cdot y^{2}

f' y = - 4 x^{2} y + 4 y^{3}

f'' x = 6 x - 4 y^{2}

f'' y = - 4 x^{2} + 12 y^{2}

f'xy=

- 8 x \cdot y

f (x, y) = (x^{2} + y^{2}) \cdot e^{x \cdot y}

f (x, y) = x^{2} + \frac{2 y^{2}}{x} - 12

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Atlantik aktiv_icon

21:25 Uhr, 30.12.2012

2)

f (x, y) = (x^{2} + y^{2}) \cdot e^{x \cdot y}

f

x = 2 x \cdot e^{x \cdot y} + (x^{2} + y^{2}) \cdot y \cdot e^{x \cdot y}

f

y = 2 y \cdot e^{x \cdot y} + (x^{2} + y^{2}) \cdot x \cdot e^{x \cdot y}

mfG

Atlantik

sunxx

16:44 Uhr, 01.01.2013

Danke, aber wie genau berechne ich bei so kompilzierten Aufgaben die Extremstellen?

pleindespoir aktiv_icon

17:19 Uhr, 01.01.2013

Grundsätzlich zunächst durch die Nullstellen der Ableitung.

sunxx

17:37 Uhr, 01.01.2013

Aber wie komme ich

z . B

. bei den folgenden Funktionen auf die Nullstellen?

f' x = 3 x^{2} - 4 x \cdot y^{2}

f' y = - 4 x^{2} y + 4 y^{3}

pleindespoir aktiv_icon

17:42 Uhr, 01.01.2013

Bei der Ableitung nach x musst du ein x finden, das die Ableitung zu Null werden lässt.

f ʹ_{x} = 3 x^{2} - 4 x \cdot y^{2}

das y ist ein Parameter und wie ein fester Faktor zu betrachten.

f ʹ_{x} = 0

0 = 3 x^{2} - 4 x \cdot y^{2}

0 = x \cdot (3 x - 4 \cdot y^{2})

sunxx

18:43 Uhr, 01.01.2013

Bei diesem Thema mit den Extremstellen stehe ich total auf dem Schlauch wenn es nicht "normale" Funktionen sind. Kannst du mir die Nullstellen für die beiden Funktionen vielleicht mal (mit Rechenweg) berechnen? Damit ich das leichter nachvollziehen kann.

pleindespoir aktiv_icon

18:50 Uhr, 01.01.2013

Das funktioniert wie bei den "eindimensionalen" Funktionen auch :

0 = x \cdot (3 x - 4 \cdot y^{2})

hier greift die Nullproduktregel und daher kann man die Funktion zerlegen in

0 = x

und

0 = (3 x - 4 \cdot y^{2})

3 x = 4 \cdot y^{2}

x = \frac{4}{3} \cdot y^{2}

Es gibt also zwei Extrem "linien" in der Funktion bezogen auf x.

Das Gleiche kannst du nun mit y machen.

sunxx

19:04 Uhr, 01.01.2013

Vieeelen Dank, ich habe eben übersehen das bei

- 4 x \cdot y^{2}

das

x

wegfällt deswegen mein Problem :-D)

noch eine kurze Frage dazu:
wie müsste ich denn die Punkte zur berechnung der HP/TP/SP bilden wenn für

x

drei Werte und für

y

drei Werte auftreten? Weil die Wertepaare ja immer aus unterschiedlichen

x

und

y

Werten bestehen müssen, da komme ich immer durcheinander.

Beispiel:

x 1 = 0

x 2 = 0,5

x 3 = - 0,5

y 1 = 0

y 2 = 1

y 3 = - 1

pleindespoir aktiv_icon

19:20 Uhr, 01.01.2013

das x "fällt nicht weg" , sondern wird vorgeklammert.

Ansonsten, wenn man das nicht sieht, wäre es nach dem Muster der quadratischen Gleichung zu lösen gewesen.

Und jetzt machs nicht noch komplizierter, sondern erstmal die vorliegende Aufgabenstellung fertig - also Ableitung nach y nullsetzen mit x als Parameter.

sunxx

19:44 Uhr, 01.01.2013

Wenn ich das richtig verstehe würde es dann so aussehen, oder?

f' y = 0

0 = - 4 x^{2} y + 4 y^{3}

0 = y (- 4 x^{2} + 4 y^{2})

0 = - 4 x^{2} + 4 y^{2}

4 x^{2} = 4 y^{2}

1 x^{2} = y^{2}

dann wäre

y 1 = 0

aber wie geht es weiter wenn

x^{2}

und

y^{2}

sind?

pleindespoir aktiv_icon

21:19 Uhr, 01.01.2013

y^{2} = x^{2}

y = \pm x

kannst Du Dir vorstellen wie Diagonalen , auf denen sich die Extrema ausbilden.

Zusätzlich noch auf der Linie y=0 - das war die erste Lösung.

Zur Veranschaulichung lass dir das Ding mal (quasi)dreidimensional plotten.

sunxx

18:46 Uhr, 02.01.2013

Okay dann habe ich jetzt diese Punkte

x 1 = 0

x 2 = \frac{4}{3} y^{2}

y 1 = 0

y 2 = + x

y 3 = - x

für die Prüfung der HP/TP/SP muss ich diese ja jetzt in

f'' x

und

f'' y

einsetzen und fxy^2

wären diese Punkte richtg?

P 1 = 0 | 0

P 2 = \frac{4}{3} y^{2} | + x

P 3 = \frac{4}{3^{2}} | - x

P 4 = 0 | + x

P 5 = 0 | - x

P 6 = \frac{4}{3} y^{2} | 0

kann ich diese jetzt überhaupt zur Prüfung der Extremstellen nehmen? Weil die

x

und

y

Werte ja noch nicht bekannt sind.

sunxx

18:46 Uhr, 02.01.2013

Okay dann habe ich jetzt diese Punkte

x 1 = 0

x 2 = \frac{4}{3} y^{2}

y 1 = 0

y 2 = + x

y 3 = - x

für die Prüfung der HP/TP/SP muss ich diese ja jetzt in

f'' x

und

f'' y

einsetzen und fxy^2

wären diese Punkte richtg?

P 1 = 0 | 0

P 2 = \frac{4}{3} y^{2} | + x

P 3 = \frac{4}{3^{2}} | - x

P 4 = 0 | + x

P 5 = 0 | - x

P 6 = \frac{4}{3} y^{2} | 0

kann ich diese jetzt überhaupt zur Prüfung der Extremstellen nehmen? Weil die

x

und

y

Werte ja noch nicht bekannt sind.

Atlantik aktiv_icon

18:58 Uhr, 02.01.2013

Hier ist ein interessanter

3 - D

Plotter:

www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter3d.htm

mfG

Atlantik

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