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Relativer Fehler von Matrixelementen

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Sonstiges

Tags: Fehler, Komponente, Matrixelementen, Norm, Numerik, recht, relativ

Dreemer aktiv_icon

14:22 Uhr, 14.11.2020

Hallo,
ich habe ein paar Probleme mit einer Aufgabe. Diese ist als Bild im Anhang enthalten. Den Teil a) habe ich bereits gelöst; die Lösungsmenge lautet

L = {(1, 0, 2)}

.

Mein Problem liegt in Teil b). Ich weiß nicht wirklich, was die Aufgabe von mir will, da ich noch relativ neu bin im Bereich der Numerischen Mathematik.

Die Normen von

A

und

b

lassen sich ja noch einfach ermitteln:

∥ A ∥_{\infty} = 1 + 4 + 1 = 6, ∥ b ∥_{\infty} = max {4, 3, 8} = 8 .

Die Aussage "Der relativer Fehler in den Matrixelementen sei höchstens

\pm 1 %

und in den Komponenten der rechten Seite höchsten[s]

\pm 3 % " .

Heißt das also, dass

∥ Δ A ∥_{\infty} \leq 1 \cdot 0, 01 + 4 \cdot 0, 01 + 1 \cdot 0, 01 = 0, 06, ∥ Δ b ∥_{\infty} \leq max {(4 \cdot 0, 03), (3 \cdot 0, 03), (8 \cdot 0, 03)} = 0, 24

und somit

\frac{∥ Δ A ∥_{\infty}}{∥ A ∥_{\infty}} \leq \frac{0, 06}{6} = 0, 01, \frac{∥ Δ b ∥_{\infty}}{∥ b ∥_{\infty}} \leq \frac{0, 24}{8} = 0, 03

gilt?
Gleichheit gilt dann ja, wenn die relativen Fehler in den Matrixelemente bzw. in den Komponenten der rechten Seite jeweils genau

\pm 1 %

bzw.

\pm 3 %

betragen würden.

Mache ich es mir zu einfach?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

EviOriginal aktiv_icon

20:49 Uhr, 14.11.2020

Hey, du hörst anscheinend mit mir Numerik I haha, ich kann dir leider keine Antwort auf eine Frage geben, aber falls es dich beruhigt: Ich habe diese Aufgabe genauso gelöst ;-)

Kurze Frage: hast du

(a)

nach dem "normalen" Gauß-Verfahren gelöst oder mit dieser LR Zerlegung?

Dreemer aktiv_icon

21:59 Uhr, 14.11.2020

Hey,
was für ein Zufall, haha.
Ich habe das LGS mit dem Gauß-Algorithmus gelöst. Die LR-Zerlegung wäre mir schreibtechnisch zu umständlich gewesen.
Man durfte ja nur nicht die Lösung über die inverse Matrix (die unten gegeben war) mit der Gleichung