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Relativitätstheorie Aufgaben

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: energie, Geschwindigkeit, Zeit und Raum, Zeitdilatation

Matt1990 aktiv_icon

19:42 Uhr, 29.03.2010

Hallo zusammen ich stecke gerade ein bisschen bei den Übungsaufaben fest.

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1)Frage: Welche Geschwindigkeit haben Elektronen gegenseitig, wenn sie sich mit jeweils mit $v = 0.9 c$ aufeinander zu bewegen?

Ansatz: Meiner Meinung nach wird für diese Aufgabe der Geschwindigkeitstransformation benötig. (Ansonsten würden sich die Elektronen gegenseitig mit $v > c$ bewegen)

Es gilt: $u' = \frac{u - v}{1 - \frac{v \cdot u}{c^{2}}} \to u = \frac{u' + v}{1 + \frac{v \cdot u'}{c^{2}}}$

Die Geschwindgkeittransformation wurde uns mit folgendem Beispiel erklärt:

Wir haben eine Raumstation und 2 Raketen die in entgegengesetzte Richtung fliegen.

Rakete 1 fliegt mit $v 1 = 0.6 c$ und Rakete mit $v 2 = 0.8 c$ auseinander. Beide Geschwindigkeiten sind bezgl. der Raumstation. Will man jetzt berechnen wie sich die Geschwindkigkeit von $R 2$ bezüglich $R 1$ verhaltet kann man folgendes machen:

Mann stellt sich $R 1$ als ruhendes System vor. Die Raumstation fliegt nun mit $v 1 = 0.6 c = v$ an der Rakte1 vorbei. Als nächstes fliegt die Rakete 2 mit an $R 1$ mit $u$ vorbei. (An der Raumstation fliegt $R 2$ mit $v 2 = 0.8 c = u'$ vorbei)
Setzt man diese Werte in die Formel $u = \frac{u' + v}{1 + \frac{v \cdot u'}{c^{2}}}$ ein bekommt man für $u = 0.946 c$ .

Das selbe kann man sich nun doch mit den Elektronen $e 1 ($ mit $v 1 = 0.9 c)$ und $e 2 ($ mit $v 2 = 0.9 c)$ vorstellen. An Stelle der Raumstation können wir ein Laborteil nehemen. Der Laborteil fliegt mit $v 1 = 0.9 c$ an $e 1$ vorbei, danach fliegt $e 2$ an $e 1$ vorbei mit der Geschwindigkeit $u$ an $e 1$ vorbei. $e 2$ fliegt mit der Geschwindigkeit $v 2 = 0.9 c = u'$ am Labor vorbei.

Löst man nun das ganze mit $u = \frac{u' + v}{1 + \frac{v \cdot u'}{c^{2}}}$ auf bekommt man für $u = 0.994 c$

laut de Lösungen unseres Lehrers ist es aber $0.54 c$ .

Habe ich das ganze richtig verstanden? Habe ich die Zuweisung mit $u, u'$ und $v$ richtig verstanden und gemacht? Könnte sich unserer Lehrer verlesen haben? Oer was mache ich falsch?

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2)Frage: Ein Raumfahrer verlässt und $24$ Uhr in der Silvesternacht $1999$ mit $v = 0.5 c$ die Erde in einer Rakete.
$a)$ Genau zum Jahreswechsel $2000 (\in$ seinem Raum-Zeit-System) zündet er ein Rakete. Wo befindet er sich in diesem Moment für irdische Konstellation und wann hat das Ereignis statt gefunden (diese Aufgabe ist klar)
$b)$ Genau in diesem Moment registiert der Raumfahrer eine Kometenkollision ein Lichtjahr voraus wo und wann fand die für die Kontrollstation statt?

Ansatz: Hier müsste man doch mit dem optischen Dopplerefeckt arbeiten oder?

$T = T' \cdot (\frac{\sqrt{c - v}}{\sqrt{c + v}})$ (wobei hier gilt $T' =$ Zeit Sender, und die Formel so angelegt ist, dass sich Sender und Empfänger nähern)

Setzt man die Werte ein bekommt man für $T' = 1.73$ Jahre $\to$ Der Sender, bzw Kommet muss $1.73$ LJ enfernt sein. Wie kann ich kann ich aber nun den Zeitpuinkt berechnen?

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$3)$ Frage: Im Zeitmass eines utopischen Rauschiffs wird für den einfachen Flug zu einem Stern in 5 Lichtjahren Entfernung genau 1 Jahr benötigt. Wie gross ist die Geschwindigkeit des Schiffes und welche Zeit verstreicht auf der Erde?

Ansatz: Mir kommt hier folgende Idee:

Zeitdilatation: $t = \frac{t'}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} (t' =$ Zeit im Raumschiff) und auch die Längenkontraktion $x = x' \cdot (\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}) (x' =$ Strecke in Ruhemasse)

Weiter komme ich jedoch nicht, ich habe die unbekannten $t$ und $v$ .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Edddi aktiv_icon

08:17 Uhr, 31.03.2010

...das sind 'ne menge Fragen auf einmal! Das schreckt ab.

Stell' sie doch nächstes mal einzeln. Außerdem scheint mir dein Problem eher physiaklischer Natur zu sein, denn die Formelwerke selbst scheinst du zu kennen, nur weißt du sie nicht umzusetzen.
Hier wärst du in einem Physikforum gut aufgehoben, da eigentlich kein mathematisches Problem besteht.

Aber hier in diesem Forum ist's so schon übersichtlich, wa?

Ich fang' mal mit 3. an, und mal seh'n was ich dann noch schaffe:

Die Längenkontraktion brauchst du nicht.

$t = \frac{t'}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}}$ stellt die Flugzeit außerhalb des bewegten Sytems dar. In dieser Zeit werden wie gesagt 5 LJ (Strecke!) zurückgelegt.

Es muss also:

$v = \frac{s}{t} = \frac{5 \cdot (9,5 \cdot 10^{15})}{t'} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}$

$v = \frac{5 \cdot (9,5 \cdot 10^{15})}{3,155 \cdot 10^{7}} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}$

$v = 1,5 \cdot 10^{9} \cdot \sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}$

$v^{2} = 2,25 \cdot 10^{18} \cdot (1 - {(\frac{v}{c})}^{2})$

$v^{2} = 2,25 \cdot 10^{18} - 2,25 \cdot 10^{18} \cdot \frac{v^{2}}{c^{2}}$

$v^{2} + 2,25 \cdot 10^{18} \cdot \frac{v^{2}}{c^{2}} = 2,25 \cdot 10^{18}$

$v^{2} \cdot (1 + 2,25 \cdot \frac{10^{18}}{c^{2}}) = 2,25 \cdot 10^{18}$

$v^{2} \cdot (\frac{c^{2} + 2,25 \cdot 10^{18}}{c^{2}}) = 2,25 \cdot 10^{18}$

$v^{2} = \frac{2,25 \cdot 10^{18}}{\frac{c^{2} + 2,25 \cdot 10^{18}}{c^{2}}}$

$v^{2} = \frac{2,25 \cdot 10^{18}}{c^{2} + 2,25 \cdot 10^{18}} \cdot c^{2}$

$v = \sqrt{\frac{2,25 \cdot 10^{18}}{c^{2} + 2,25 \cdot 10^{18}}} \cdot c$

$v = \sqrt{\frac{2,25 \cdot 10^{18}}{9 \cdot 10^{16} + 2,25 \cdot 10^{18}}} \cdot c$

$v = \sqrt{\frac{2,25 \cdot 10^{18}}{0,09 \cdot 10^{18} + 2,25 \cdot 10^{18}}} \cdot c$

$v = \sqrt{\frac{2,25}{0,09 + 2,25}} \cdot c$

$v = \sqrt{\frac{2,25}{2,34}} \cdot c$

$v = 0,98058 \cdot c$

$v \approx 98 %$ Lichtgeschwindigkeit

Edddi aktiv_icon

08:45 Uhr, 31.03.2010

$2 b$ würd' ich so angehen:

aus a erhalten wir mit $v = 0,5 \cdot c$

$t = \frac{t'}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} = \frac{t'}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot t'$

Da $t' = 1$ Jahr ergibt sich der zurückgelegte Weg des Raumfahrers zu:

$s = v \cdot t = (\frac{1}{2} \cdot c) \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot t') = \frac{1}{\sqrt{3}}$ Lichtjahre

Bis zur Erde (Kontrollstation) muss das Licht der Kollision also noch diese Strecke zurücklegen.

Hier musst du auch die Längenkontraktion berücksichtigen. Denn die Messung von einem LJ des Raumfahrers bei $0,5 \cdot c$ ist ja aus dem bewegten System gemessen.

Die reelle Länge ergibt sich zu

$L' = L \cdot \sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}} = L \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$L = L' \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

Der Kollisionsort ist also von der Erde $\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1,732$ Lichtjahre entfernt.

Brauchen tut aber das Lichtsignal nur noch $\frac{1}{\sqrt{3}}$ Jahre bis zur Erde.

Dies, plus die Zeit $t = (\frac{2}{\sqrt{3}})$ Jahre, macht ebenfalls $\sqrt{3}$ Jahre nach dem Start des Raumschiffs Silvester $1999 .$

Die Kollision wird also $0,732$ Jahre nach Silvester $2000,$ somit irgendwann im September $2000$ auf der Erde registriert.

Diese $1,732$ deckt sich doch auch gut mit deinem Ergebnis.

;-)

Edddi aktiv_icon

08:51 Uhr, 31.03.2010

...bei 1. werden einfach 2 Geschwindigkeiten nach Einstein addiert:

$v_{G} = \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + \frac{v_{1} \cdot v_{2}}{c^{2}}}$

für $v_{1} = v_{2}$ ergibt sich:

$v_{G} = \frac{2 \cdot v}{1 + {(\frac{v}{c})}^{2}}$

macht bei $0,9 \cdot c :$

$v_{G} = \frac{2 \cdot 0,9 \cdot c}{1 + {(\frac{0,9 \cdot c}{c})}^{2}}$

$v_{G} = \frac{1,8 \cdot c}{1,81}$

$v_{G} = \frac{1,8}{1,81} \cdot c$

$v_{G} = 0,994475 \cdot c$

$v_{G} \approx 99,45 %$ Lichtgeschwindigkeit

...diese Lösung ist auch offensichtlich, da die Summe beider Geschwindigkeiten nicht kleiner als die Größte der beiden Geschwindigkeit sein kann!

Auch dein Lehrer ist nur ein Mensch! Aber das dürfte ihm nicht passieren, dafür ist das Ergebnis zu auffällig FALSCH!

;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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