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Inklusion-Exklusion
Tags: Inklusion-Exklusion
 
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Bestimmen Sie begründet die Anzahl der Permutationen von mit höchstens drei Fixpunkten. Bestimmen Sie begründet die Anzahl der 9-Derangements von so dass sich jede gerade Zahl an einer geraden Position befindet. Kann mir da jemand helfen. Vielen Dank im voraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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UPDATE. a) Es ist rechnerisch einfacher, Permutationen mit genau 4,5 und 6 Fixpunkten zu zählen und dann von der Gesamtanzahl der Permutationen abzuziehen. Mit 6 Fixpunkten gibt's natürlich nur eine Permutation. Mit genau 5 Fixpunkten gibt's gar keine. Und mit 4 Fixpunkten gibt's Permutation, denn so eine Permutation ist eindeutig durch die Wahl der Fixpunkte bestimmt. Also ist die Antwort . Alternativ und mit mehr Aufwand, kann man Permutationen ohne Fixpunkte, mit genau einem Fixpunkt, mit genau 2 Fixpunkten und mit genau 3 Fixpunkten zählen. Ohne Fixpunkte sind es Derangments, also Stück ( en.wikipedia.org/wiki/Derangement). Mit genau einem Fixpunkt sind es ( Varianten den Fixpunkt zu wählen und 5-Derangments auf den restlichen Zahlen). Mit genau 2 Fixpunkten sind es ( Varianten 2 Fixpunkte zu wählen und 4-Derangments auf den restlichen Zahlen). Mit genau 3 Fixpunkten sind es ( Varianten 3 Fixpunkte zu wählen und 3-Derangments auf den restlichen Zahlen). Insgesamt also . b). Da gerade Zahlen auf gerade gehen, müssen zwangsläufig ungerade Zahlen auf ungerade gehen. Also haben wir unabhängig voneinander Derangements auf der Menge und auf der Menge . Laut en.wikipedia.org/wiki/Derangement gibt's 9 Derangements auf der Menge und auf der Menge . Also ist die Antwort in b): . |
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Vielen Dank! |
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