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Rentenformel mit unterjähriger Verzinsung

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

Binary91 aktiv_icon

16:56 Uhr, 03.01.2021

Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei, mir eine Excel-Datei für die Berechnung von Rentenendwert und Rentenbarwert zu erstellen.

In der Vorlesung wurde zunächst die k-malige Verzinsung erläutert, welche sich wie folgt darstellt:
Kn

= K 0 \cdot {(1 + \frac{p}{k})}^{k}

Im nächsten Kapitel wurde die Rentenendwertberechnung erläutert (vorschüssig):
Rn

= r \cdot q \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Leider wurde weder in der Vorlesung, noch auf einer einziger Website während meiner Google-Recherche eine Rentenformel aufgezeigt, die auch eine unterjährige Verzinsung akzeptieren würde, geschweigedenn ein Anfangskapital

R 0

.

Ich habe nun selbst die Formel erweitert und würde gerne wissen, ob das stimmt:
Es gelte:

q = (1 + \frac{p}{k})

= R 0 \cdot q^{k \cdot n} + r \cdot q^{k} \cdot \frac{q^{k \cdot n} - 1}{q^{k} - 1}

Liege ich mit dieser Formel richtig zur unterjährigen Berechnung der vorschüssigen Rente unter Berücksichtigung eines Anfangskapitals? Ich frage mich vor allem, ob ich jedes

q

aus der Standardformel mit

q^{k}

ersetzen muss, aber ich gehe davon aus. Leider stimmen bei beiden Varianten die Resultate mit Beispiellösungen anderer Websites überein, da sich

q

nicht wesentlich von

q^{k}

unterscheidet...

Vielen Dank bereits vorab für eure Rückmeldungen!

Beste Grüße
Binary

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:09 Uhr, 03.01.2021

Ist

i

der Nominalzins gilt:
relativer Monatszinsfaktor

q = 1 + \frac{i}{12}

Ist

i

der Effektivzins,gilt:
konformer/äquivalenter Monatszinsfaktor

q = {(1 + i)}^{\frac{1}{12}}

Beispiel:
Anfangskap.

10000,

monatliche vorschüssige Sparrate

200,

Zins nominal

2 % \to i = 0,02,

\to q = 1 + \frac{0,02}{12}

Endkapital

E

nach

10

Jahren:

E = 10000 \cdot q^{120} + 200 \cdot q \cdot \frac{q^{120} - 1}{q - 1} = . .

.

Bei konformer Verzinsung geht es analog mit

q = {(1,02)}^{\frac{1}{12}}

. .

Binary91 aktiv_icon

17:24 Uhr, 03.01.2021

Hallo und vielen Dank für die schnelle und ausführliche Rückmeldung!

Ok, also sehe ich es richtig, dass sowohl bei der Multiplikation mit dem Anfangskapital als auch im Zähler des Bruches der Faktor der unterjährigen Verzinsung (also

12

in diesem Beispiel) in den Exponenten von

q

aufgenommen werden muss, aber bei dem

q

vor dem Bruch (der Faktor für die vorschüssige Rente) sowie beim

q

im Nenner ist es nicht nötig,

q

durch

q^{k}

zu ersetzen?

Auf Dein Bespiel bezogen, warum heißt es nicht:

E = 10000 \cdot q^{120} + 200 \cdot q^{12} \cdot \frac{q^{120} - 1}{q^{12} - 1}

Könntest Du mir erläutern, wieso? Ich würde es gerne verstehen.

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17:32 Uhr, 03.01.2021

Schau mal hier:
de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung#Grundformeln

q^{12} - 1

macht keinen Sinn, weil

q^{12} - 1

der effekt. Jahreszins wäre.
Es geht aber um monatliche Verzinsung.

Binary91 aktiv_icon

17:46 Uhr, 03.01.2021

Ok, stimmt, ich verstehe weshalb es im Nenner lediglich

q

sein darf. So kürzt sich die 1 weg und es bleibt lediglich der unterjährige Zinssatz übrig.

Wieso aber sollte nicht vor dem Bruch der "vorschüssige" Faktor

q^{12}

lauten? Schließlich wird ja eine ganze Rate mehr über die vollen

12

Monate verzinst, oder?

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17:59 Uhr, 03.01.2021

Es wird Monat für Monat verzinst. Da hat der Jahreszinsfaktor nichts verloren.
Es wird immer der jeweilige unterjährige Zinsfaktor verwendet, so wie
bei jährl. Verzinsung der Jahreszinsfaktor zu nehmen ist.

Binary91 aktiv_icon

22:11 Uhr, 03.01.2021

Das wird schon stimmen, wie Du es sagst, ich verstehe es nur noch nicht.

Ich meine ja die monatliche Verzinsung. Bei monatlicher Verzinsung ist

k = 12

über einen Zeitraum von

n = 10

Jahren. Daher verstehe ich noch nicht, warum vor dem Bruch der vorschüssige Extrafaktor nicht

q^{k}

lauten sollte. Aber ich finde überall Deine Formeldarstellung, daher wird es sicher stimmen... vielleicht stoße ich nochmal auf eine Herleitung.

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06:48 Uhr, 04.01.2021

Du musst die Formel nur anwenden können.
Die Herleitung läuft über die geometrische Reihe:

de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_(endlichen)_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe

Binary91 aktiv_icon

17:43 Uhr, 04.01.2021

Danke! Die Herleitung macht Sinn.

Beste Grüße!

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