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Rentenrechnung - Aufgabe..
Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Rentenrechnung, Verzinsung, vor - und nachschüssig
 
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Kann mir jemand helfen? Bei einer Zahlungsverpflichtung mit einer Laufzeit von 8 Jahren sind jeweils am Ende eines Jahres 3000€ zu zahlen. Diese Zahlungsverpflichtung soll in eine am Jahresanfang fällige Zahlungsreihe mit einer Laufzeit von 6 Jahren umgewandelt werden. Wie hoch ist die jährliche Zahlung? ( 6%) Unter den 6% versteht man natürlich die jählriche Verzinsung. DANKE!! |
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Hallo MissyQueen, die Aufgabe sollte sich wie folgt lösen lassen: Du berechnest wie hoch der Gegenwartswert der Forderung ist (d.h. welchen Wert die Forderung hat, wenn sie heute komplett ausgezahlt würde; wird auch als Kapitalwert zum Zeitpunkt 0 bezeichnet), wenn 8 Jahre lang nachschüssig 3000 gezahlt werden. Dann kannst Du berechnen wie groß die vorschüssige jährliche Zahlung über 6 Jahre sein muss, damit die neue Zahlungsreihe den gleichen Gegenwartswert besitzt (die Forderung wird nur umgeschichtet, muss aber ihren Wert behalten!) Es steht zu vermuten, dass die Zahlung etwas höher sein muss, da sie jetzt zwar am Jahresanfang geleistet wird, was einen gewissen Zinsvorteil erbringt, dafür aber auch nur über 6 statt 8 Jahre läuft. Die konkrete Berechnung: Zunächst stellst Du die erste Zahlungsreihe über 8 Jahre auf: Die erste Zeile bezeichnet im folgenden die Zeitpunkte, wobei Zeitpunkt 0 die Gegenwart bezeichnet, Zeitpunkt 1 das Ende des ersten Jahres, Zeitpunkt 2 das Ende des zweiten Jahres etc. Da die Zahlung über 8 Jahre nachschüssig erfolgt, findet die erste Zahlung am Ende der ersten Periode, also im Zeitpunkt 1 statt: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 - 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 Der Gegenwartswert(Kapitalwert in 0) berechnet sich nun, indem die Zahlungen über die Laufzeit abgezinst werden mit dem gegebenen Zinssatz von 6% p.a. : K0= 3000/1,06 + 3000/1,06² +3000/1,06³+...+3000/1,06^8 = 3000 *(1/1,06 + 1/1,06² + 1/1,06³ +... +1/1,06^8) = ca. 18629,38 Das heißt statt der Zahlungen über 8 Jahre könntest Du als Gläubiger auch heute eine einmalige Zahlung über 18629,38 akzeptieren ohne Dich dabei besser oder schlechter zu stellen, das Endvermögen nach 8 Jahren ist das gleiche! Die neue Zahlungsreihe muss wie gesagt den gleichen Gegenwartswert besitzen und hat folgende Struktur. Im folgenden sei x die zu berechnende unbekannte vorschüssige Zahlung über 6 Jahre. Da die Zahlungen jetzt zum Jahresanfang erfolgen, findet die erste Zahlung im Zeitpunkt 0 statt und im Zeitpunkt 6 erfolgt keine Zahlung mehr! 0 1 2 3 4 5 6 x x x x x x - Der Gegenwartswert lautet auch hier 18629,38 , berechnet sich wieder durch Diskontieren der Zahlungen und führt zu folgender Gleichung aus der Du dann endlich x errechnen kannst: K0= x + x/1,06 + x/1,06² + ... + x/1,06^5 = 18629,38 x ( 1 + 1/1,06 + 1/1,06² + 1/1,06³ + 1/1,06^4 + 1/1,06^5 ) = 18629,38 x = 18629,38 / (1 + 1/1,06 + 1/1,06² + 1/1,06³ + 1/1,06^4 + 1/1,06^5 ) x= ca. 3574,08 Wie vermutet ist die jährliche Zahlung nun etwas höher (3574,08 statt vorher 3000), da die Laufzeit verkürzt wurde und dies durch den Zinsvorteil der Vorverlegung aller Zahlungen nicht ausgeglichen wird! Ich hoffe, das hilft Dir weiter. PS: Die Kapitalwerte solcher regelmäßiger Zahlungen muss man nicht, wie ich das getan habe "zu Fuß berechnen", dafür gibt es Formeln (googel mal bei Interesse nach "vorschüssige und nachschüssige Rente"). LG |
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