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Schüler

Tags: Jahreszins, Monatszins

stinlein aktiv_icon

19:58 Uhr, 10.03.2025

Liebe Mathehelfer im Forum!

Mir gelingt es einfach nicht zielführend den Jahreszins von 1,7% in den Monatszins umzurechnen.
Ich habe es einmal versucht, doch ich glaube, dass die Auflösung im Auflösungsheft nicht stimmt.
Die rechnen mit einem Monaszinsatz q12 = also für 5 Jahre ....1.01275^((12*5)/12)
Die Rechnung habe ich teilweise schon angesetzt, doch wie groß ist q12 eigentlich?
Danke euch für eine Hilfestellung.
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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20:22 Uhr, 10.03.2025

Hallo,

prinzipiell gibt es zwei Konzepte für die Berechnung des monatlichen Zinssatzes:

Relativer monatliche Zinssatz

q_{12} = 1 + \frac{i}{12} = 1 + \frac{0, 017}{12} \approx 1, 001417

und der aquivalente, monatliche Zinssatz

q_{12} = q^{\frac{1}{12}} \approx 1, 001406

bzw.

i_{12} = q^{\frac{1}{12}} - 1

Was hier verwendet wurde kann ich aus der Zahl nicht ganz nachvollziehen.

Gruß
pivot

stinlein aktiv_icon

20:39 Uhr, 10.03.2025

Lieber pivot!
Danke für die Aufklärung. Ich werde einmal die Monate ausrechnen.
Liebe Grüße
stinlein

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20:48 Uhr, 10.03.2025

Ich wollte nur nachtragen:

1, 7 % p.a. = \frac{1, 7}{12} = 0, 1416

ist nicht die richtige Herangehensweise um den relativen Zinssatz zu berechnen. Siehe meinen letzen Beitrag.

Vor allem musst du mehr Nachkommastellen verwenden:

i_{m} = \frac{0, 017}{12} \approx 0, 00141667

Oder du man verwendet einfach den Bruch.

stinlein aktiv_icon

21:01 Uhr, 10.03.2025

Danke, lieber pivot, für den Nachtrag. Leider komme ich beim Berechnen der Monate x auf einen Minuswert. Suche nach dem Fehler!! x kann nicht - 903,43 Monate sein!!!
Solltest du noch einen Hinweis für mich haben, wäre das super. Du weißt ja, wo sich Fehler einschleichen.

Für heute danke
stinlein

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21:07 Uhr, 10.03.2025

Schwierig zu sagen. Vielleicht doch mal deinen Ansatz posten.

Enano

22:56 Uhr, 10.03.2025

Hallo,

>

Leider komme ich beim Berechnen der Monate

x

auf einen Minuswert.

Wenn du mit der handschriftlichen Gleichung gerechnet hast, die über dem "

x =

" steht, ist das kein Wunder, denn da fehlt auf der rechten Seite

+ 1,

die eine Zeile zuvor noch vorhanden war.

KL700 aktiv_icon

08:04 Uhr, 11.03.2025

"prinzipiell gibt es zwei Konzepte für die Berechnung des monatlichen Zinssatzes:"

x % p . a

. versteht sich meist als Nominalzinsatz, der zum relativen unterjährigen führt.

PS:
Statt äquivalent liest man auch oft konform.

stinlein aktiv_icon

08:28 Uhr, 11.03.2025

Zuerst danke den vielen Helfern.
Hier mein Ansatz:
50*(q^(x/12 -1)/(q^(1/12 -1) = 10000
Daraus
x =ln ((200*(q^((1/12)-1)+1/ln q)*12/ln q
q= 1,001406.... monatl. Zinssatz
x = 9,075 Monate
Scheint mir zu wenig. Im Auflöser steht:181,5 Monate, was auch nicht stimmen dürfte. Liegt vermutlich am monatlichen falschen Zinssatz, den sie verwenden.
Wie würde das richtig Ergebnis lauten?
Danke für eure Hilfe! Danke enano fürs Drüberschauen. Ja das +1 ist mir abhanden gekommen. Leider!
stinlein

KL700 aktiv_icon

09:10 Uhr, 11.03.2025

Sparbücher werden anders verzinst (SparbuchMethode, Verzinsung anteilig am Jahersende):

Jahresersatzrate:

R

R = 12 \cdot 50 + 50 \cdot \frac{0,017}{12} \cdot (11 + 10 + 9 + ... 1 = 66) = 604,68

einsetzen in die Annuitätenformel:

K (5) = R \cdot \frac{{1,017}^{5} - 1}{0,017} = 3127,96

stinlein aktiv_icon

09:42 Uhr, 11.03.2025

Danke vielmals, danke! Hast mich nicht im Stich /alleine mit meinem Problem gelassen. Das schaue ich mir mittags, wenn ich von der Arbeit heim komme gleich an. Sparbuch!!

Vielleicht kannst du mir noch bei b nachsehen, wo ich für x auf nur 9 Monate komme. Das kann nicht stimmen. Wo liegt da wohl bei der Rechnung mein Fehler. Das (+1), das ich in der vorletzten Zeile vergessen habe, habe ich korrigiert. Jetzt komme ich zumindest auf einen positiven Wert x = 9,075 Monate.
Alles Liebe
stinlein

Enano

10:18 Uhr, 11.03.2025

>

Im Auflöser steht:181,5 Monate, was auch nicht stimmen dürfte.

Doch das stimmt, wenn

25 %

KESt berücksichtigt werden.

KL700 aktiv_icon

10:58 Uhr, 11.03.2025

Nach KEST bleiben von

1,7 %

übrig;

1,7 \cdot (1 - 0,25) = 1,275 %

Ersatzrate:

12 \cdot 50 + 50 \cdot \frac{0,01275}{12} \cdot 66 = 603,51

10000 = 603,51 \cdot \frac{{1,01275}^{n} - 1}{0,01275}

n = 15,138

Jahre

= 181,5

Monate (abgerundet)

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11:10 Uhr, 11.03.2025

>>Doch das stimmt, wenn 25% KESt berücksichtigt werden.<<
Da kann ich nur zustimmen.

Relativer

Zinssatz:
Der monatliche Zinssatz mit Steuern ist dann

i_{12}^{s} = \frac{i}{12} \cdot (1 - t) = \frac{0, 017}{12} \cdot 0, 75 = 0, 0010625

bzw.

q_{12}^{s} = 1 + i_{12}^{s} = 1, 0010625

Dabei ist

(1 - t) = (1 - 0, 25) = 0, 75

mit

t

=Steuersatz für Kapitalerträge.

Konformer

bzw.

äquivalenter

Zinssatz:
Zinsfaktor

q_{12}^{s} = 1 + i_{12}^{s} = {(1 + i \cdot (1 - t))}^{\frac{1}{12}} = (1 + 0, 017 \cdot 0, 75)^{\frac{1}{12}} = 1, 017 5^{\frac{1}{12}}

Zinssatz

i_{12}^{s} = (1 + 0, 017 \cdot 0, 75)^{\frac{1}{12}} - 1 = 1, 017 5^{\frac{1}{12}} - 1

Bei beiden Arten der monatlichen Zinsen kommt ziemlich genau

x = 181, 5

heraus.

Anmerkung: Die Jahresersatzrate habe ich mal weggelassen. Siehe Beitrag von KL700.

KL700 aktiv_icon

11:19 Uhr, 11.03.2025

"Anmerkung: Die Jahresersatzrate habe ich mal weggelassen. Siehe Beitrag von KL700."

Das sollte man hier nicht tun, es ist streng genommen falsch, auch wenn bei so niedrigen Zinsen
die Ergebnisse kaum voneinander abweichen.
Es steht ausdrücklich SPARBUCH da und damit der Hinweis auf die Verzinsungart.

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11:21 Uhr, 11.03.2025

Hast du einen Link oder ähnliches wo man nachlesen kann bzgl. Sparbuch und Jahresersatzrate? Ich habe davon noch nichts mitbekommen.

KL700 aktiv_icon

11:43 Uhr, 11.03.2025

Hier die Alternativformel auf Seite

11 :

www.fh-muenster.de/itb/downloads/mba/Formelsammlung_WMathStat_v070610_000.pdf

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11:56 Uhr, 11.03.2025

Die Formel kenne ich. Den Zusammenhang zwischen Sparbuch und der Jahresersatzrate aber nicht. Ich denke alle drei Arten sind legitim, wenn es nicht vorher irgendwie festgelegt worden ist.

stinlein aktiv_icon

12:29 Uhr, 11.03.2025

Allen hilfsbereiten Hilfern und Beteiligten ein liebes Dankeschön. Diese Aufgabe scheint schon recht schwierig zu sein. Mir hat da einfach der Durchblick gefehlt. Jetzt glaube ich werde ich schon klar kommen. Sollte noch ein Problem auftauchen, melde ich mich abends wieder.
DANKE! DANKE!
stinlein

stinlein aktiv_icon

12:31 Uhr, 11.03.2025

Liebe KL700!
Dir nochmals danke für deine gute Unterstützung und für deine aufschlussreichen Erklärungen.
stinlein

KL700 aktiv_icon

12:53 Uhr, 11.03.2025

" Den Zusammenhang zwischen Sparbuch und der Jahresersatzrate aber nicht."

Du rechnest aus, was am Jahresende auf dem Sparbuch ist, das ist jedes Jahr dieselbe Sparsumme.
Diese Summe ist die Jahresannuität, so als ob du diese Summe am Jahresende einzahlst unter Berücksichtigung der KEST.
Den Rest solltest du nun aus meiner Rechnung erkennen bzw. nun nachvollziehen können.
Der Unterschied beim Endkapital ist meist minimal, verglichen mit der konformen Verzinsung, wie man auch hier sehen kann.
Ausführliches dazu findest du in Fachbüchern zur Finanzmathematik.
Die Ersatzrate zu ermitteln ist banal,man muss nur auf vorschüssig bzw, nachschüssig achten.
Ich verwende immer die arithmetische Reihe mit den Werten

78

bzw.

66

bei monatl. Sparen für die
anteilige Verzinsung am Jahresende

(12 + 11 + ... + 1)

bzw.

(11 + 10 + ... + 1)

.

Ich hoffe, das hilft dir ein wenig weiter.

Enano

12:55 Uhr, 11.03.2025

> n = 15,138

Jahre

= 181,5

Monate (abgerundet)

Da hast du dich wohl vertippt, denn es sollten ca.

15,128

Jahre, also abgerundet

181,5

Monate herauskommen. Andernfalls kämen aufgerundet

181,7

Monate heraus.

KL700 aktiv_icon

13:25 Uhr, 11.03.2025

Danke für die Korrektur. Ja, es war ein Abschreibefehler von meinem TR.

stinlein aktiv_icon

13:31 Uhr, 11.03.2025

Danke nochmals für die Hinweise. Ihr seid einfach sooo hilfsbereit und super drauf! Ich werde sicher am Abend wieder bei einer weiteren Rechnung, die ich mir aus dem Buch aussuche, Unterstützung brauchen.
stinlein

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22:34 Uhr, 11.03.2025

Bei Verwendung des äquivalenten Zinssatzes ergibt sich folgende Gleichung

50 \cdot \frac{1.0127 5^{x / 12} - 1}{1.0127 5^{1 / 12} - 1} = 10000

Mit der Substitution

y = 1, 0127 5^{1 / 12}

ist die Gleichung

50 \cdot \frac{y^{x} - 1}{y - 1} = 10000

Mit dem Nenner multiplizieren.

50 \cdot (y^{x} - 1) = 10000 \cdot (y - 1)

Klammern ausmultiplizieren.

50 y^{x} - 50 = 10000 y - 10000

50 y^{x} = 10000 y - 9950

y^{x} = \frac{10000 y - 9950}{50}

Logarithmieren.

\ln (y^{x}) = \ln (\frac{10000 y - 9950}{50})

x \cdot \ln (y) = \ln (\frac{10000 y - 9950}{50})

x = \frac{\ln (\frac{10000 y - 9950}{50})}{\ln (y)}

x = \frac{\ln (\frac{10000 \cdot 1, 0127 5^{1 / 12} - 9950}{50})}{\ln (1, 0127 5^{1 / 12})} \approx 181, 541 \approx 181, 5

1590254

1590213

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