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Residuen bestimmen

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Funktionentheorie

Integration

Tags: Funktionentheorie, Integration

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16:13 Uhr, 16.01.2017

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgendem Integral über den Kreisweg mit dem Radius 3:

\int_{∣ z ∣ = 3} \frac{e^{t z}}{z^{2} + 4} d z

Wie berechnet man dieses Integral, bzw wie errechnet man die Residuen, um sie hier einzusetzen:

2 π i \sum_{z = z_{0}} R e s (f (z))

Gibt es eine Liste in der man die f(z) nachschlagen kann?

Danke im Vorraus

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16:24 Uhr, 16.01.2017

Es gibt keine Liste,
aber es gibt einige Formeln, nachzulesen hier:
de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie)
Du hast an den Stellen

- 2

und

2

Pole 1. Ordnung, also hilft Dir die 1. Formel aus dem Abschnitt "Praktische Berechnung"

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08:40 Uhr, 17.01.2017

Die Polstellen sind doch bei 2i und -2i oder?
Und wenn ich jetzt aus dieser Liste bei Wikipedia den zweiten Punkt nehme:

R e s_{a} f = lim_{z \to a} (z - a) f (z)

Was setzte ich dann für f(z) ein?

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08:48 Uhr, 17.01.2017

"Die Polstellen sind doch bei 2i und -2i oder?"

Ja, natürlich, hab mich verschrieben.

"Was setzte ich dann für f(z) ein?"

Na, die Funktion, die man integriert, was denn sonst?

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09:18 Uhr, 17.01.2017

Also rechne ich folgendes:

\int_{∣ z ∣ = 3} \frac{e^{t z}}{z^{2} + 4} d z = 2 π i (lim_{z \to 2 i} (z - 2 i) \frac{e^{t z}}{(z - 2 i) (2 + 2 i)} + lim_{z \to - 2 i} (z + 2 i) \frac{e^{t z}}{(z - 2 i) (2 + 2 i)})

= 2 π i (\frac{e^{2 t i}}{4 i} - \frac{e^{- 2 t i}}{- 4 i}) = \frac{π}{2} (e^{2 t i} - e^{- 2 t i})

Da die Polstellen beide innerhalb des Kreisweges mit dem Radius 3 liegen, werden beide Residuen addiert und mit

2 π i

mal genommen.

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09:20 Uhr, 17.01.2017

Das Endergebnis ist OK, in der Mitte hast Du mal - statt +, mal 2 statt z.

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09:23 Uhr, 17.01.2017

Ja stimmt.
Danke dafür.

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