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Residuen von Näherungslösungen für Gleichungssyst.
Universität / Fachhochschule
Tags: Computernumerik, exakte Lösung, Gleichungssystem, Kondition, Näherungswert, Numerik, Numerische Mathematik, Residuum
 
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Kategorie: numerische Mathematik Hallo! Ich habe dieses Beispiel eigentlich schon vorgezeigt, der Clou dahinter ist mir aber bis jetzt nicht ganz klar: „Für das lineare Gleichungssystem sind zwei Näherungslösungen gegeben: Berechnen Sie für beide Näherungen die Norm der Residuen ||Ax-b||2. Welche Lösung würden Sie deshalb als exakter einstufen? Bestimmen Sie noch die exakte Lösung und erklären Sie was passiert.“ Residuum1 Residuum2 Daraus würde ich Lösung 2 als exakter einstufen. Exakte Lösung ist woraus Näherungslösung 1 besser wäre! Die Kondition der A-Matrix ist sprich ein sehr schlecht konditioniertes System. Dies sieht man auch, wenn man beide Gleichungen als Geraden plottet: sie sind fast parallel mit dem Schnittpunkt bei . Aber warum ist das Residuum 1 größer als das von 2? Näherungslösung 2 liegt exakt auf Gerade 2. Ist deswegen Residuum 2 so klein? Oder hat es was mit Abschneiden von signifikanten Stellen beim invertieren der A-Matrix zu tun? Ich wäre für Hinweise dankbar, um auf die richtige Spur zu kommen! Lg, Thomas Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 22:51 Uhr, 07.05.2018 |
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Näherungslösung 2 liegt exakt auf Gerade 2. Ist deswegen Residuum 2 so klein? Da beide geraden sehr "ähnlich" sind (bzw schlecht Konditioniert), ja. Um sich das vllt ein bisschen besser einfacher Vorzustellen, nehmen wir zwei parallele geraden: Wo liegen denn gute Näherungslösungen bzw die optimale (heißt: Welche Näherungen minimieren die L2-Norm). Falls unklar ist was ich meine, dann hilft vielleicht eine Skizze. Exakte Lösung ist woraus Näherungslösung 1 besser wäre! Nur weil der "abstand" zwischen der Wahrenlösung und der Näherungslösung kleiner ist? Was heißt denn besser? Dazu ein weiteres Bsp (1D-Fall): Gesucht ist die numerische Näherung für die Nullstelle von hat als Wahre Nullstelle Schauen wir uns die Näherungen und Also wäre ja die "bessere" Lösung. Bei weiteren berechnungen würdest du also lieber mit als Nullstelle weiterrechnen als mit ? Es geht doch viel eher darum welcher Wert besser die Nulsttellebeschreibt. Genauso geht es darum Welche Lösung besser das Gleichungssystem beschreibt. Das Bewertungskriterium kann dabei varieren. Es gibt "viele" Normen... Und danach entscheidet man welche Näherung besser das System beschreibt und dass ist nunmal die zweite Lösung. |
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Ok, die "besten" Näherungslösungen zweier paralleler Geraden sind also alle Punkte genau zwischen ihnen. Somit sind bei zwei fast parallelen Geraden die "besten" Lösungen auch alle Punkte einer Geraden zwischen ihnen. Und somit erfüllt ein Punkt zb. genau auf einer Geraden besser das Gleichungssystem (anhand der L2-Norm), obwohl er einen relativ großen euklidischen Abstand zur exakten Lösung hat; als ein Punkt relativ "nahe" an der exakten Lösung, der jedoch im Vergleich zum ersten einen relativ großen Abstand zu den Geraden hat. Und danke für die Beispiele, das mit dem Veranschaulichen mit parallelen Geraden war hilfreich! |
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