Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Residuensatz und Kurvenintegral (Berechnung)

Residuensatz und Kurvenintegral (Berechnung)

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Kurvenintegral, Residuensatz

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
IamDS

IamDS aktiv_icon

21:59 Uhr, 13.06.2021

Antworten
Liebes OnlineMathe Forum!

In der Vorbereitung auf eine Klausur bin ich auf ein kleines Problem gestoßen. Und zwar würde ich gerne mithilfe des Residuensatzes den Wert eines Kurvenintegrals berechnen. Die Theorie dahinter versteh ich soweit.

Nach der Berechnung der Polstellen (vielleicht hat da noch jemand einen Tipp den bei sehr langen Termen im Nenner gestaltet sich das ohne Wolfram Alpha etwas schwierig) bekomme ich einen einfachen Pol bei z=3 und einen zweifache Pol bei z=-i. Beide liegen innerhalb der Kurve soweit so gut.

So:

Für das Res(z=3) nehmen wir p(z) also den Zähler durch die Ableitung des Nenners q'(z), versteh ich auch noch.

Für das Res(z=-1) verstehe ich aber weder wie er auf den Zähler noch auf den Nenner kommt (siehe Anhang markierte Stelle). Ich weiß es gibt da die 3 Rechenregeln bzw. Methoden je nachdem um welche Art von Polstelle es sich handelt aber irgendwie bekomm ich nie das gleiche raus. Vielleicht könnte es mir jemand langsam aufschlüsseln bzw. die Methode dahinter erläutern damit ich mit dem anderen Stoffgebieten weiter machen kann :-D)

MfG Ernst

this

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:23 Uhr, 13.06.2021

Antworten
"Für das Res(z=-1) verstehe ich aber weder wie er auf den Zähler noch auf den Nenner kommt (siehe Anhang markierte Stelle)."

Er nutzt die Formel für den Pol zweiter Ordnung, also die Formel auf der Seite 7 hier:
http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Komplexe_Analysis/Folien_Residuum.pdf,
nur mit n=2.
Also Resaf=limzaddz((z-a)2f(z)).
In diesem Fall ist a=-i, also muss man (z+i)2f(z)=50z2z-3 ableiten.
Das geht nach der bekannten Regel: ddz(50z2z-3)=(50z2)ʹ(z-3)-50z2(z-3)ʹ(z-3)2=100z(z-3)-50z2(z-3)2=50z2-300z(z-3)2=50(z-6)z(z-3)2
Also, wo hattest du hier ein Problem?


IamDS

IamDS aktiv_icon

23:14 Uhr, 13.06.2021

Antworten
Sorry ich hab komplett den falschen Denkansatz gehabt war anscheinend zu viel Mathe auf einmal. Durch die Multiplikation von f(z) mit (z-i)2 fällt das (z-i)2 im Nenner von f(z) natürlich weg und zum Ableiten brauch ich ja nur die normale Ableitungsregel von Brüchen also yʹ=uʹ*v-vʹ*uv2 verwenden...

Schon mal vielen Dank dafür.

Damit ich das Thema abschließen kann, eigentlich gibt es ja nur die 2 Arten von Polstellen:

-Einfache die ich mit "Resz0f=Resz0gh=g(z0)hʹ(z0)" berechne.

-Mehrfache die ich mit "Resz0f=Resz0limzz01(n-1)![(ddz)n-1[(z-z0)n*f(z)]]" berechne.

(Latex Fehler asugenommen)

ABER eine andere Frage:

Wenn ich jetzt den Wert eines Integrals berechne, berechne ich wieder die Nullstellen des Nenners wie gewohnt. Aber wie komme ich in diesem Beispiel dann auf Zähler und Nenner?

Also Beispielsweise:

-2x2x4+4dx

Nullstellen bei +/-1+/-i (sagen wir wir benutzen nur 1+i und -1+1)

Wie gehe ich dann da vor? Da gibts doch was eigenes und nich mit der Methode der Mehfachen Polstellen von oben oder?

Geht mir da nur ums umformen auf den richtigen Zähler und Nenner danach ist der Weg wieder klar indem man 2πi*(Res1+Res2)=...

Sorry ist dann auch echt die letzte Frage!


Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:44 Uhr, 14.06.2021

Antworten
"Einfache die ich mit "Resz0f=Resz0gh=g(z0)h′(z0)" berechne."

Das ist nicht die einzige Formel für einfache Pole. Es gibt auch die Formel
Resaf=limza(z-a)f(z). Du hast sie doch in meinem Link gesehen.


"Wenn ich jetzt den Wert eines Integrals berechne, berechne ich wieder die Nullstellen des Nenners wie gewohnt. Aber wie komme ich in diesem Beispiel dann auf Zähler und Nenner?"

Du meinst wohl diese Formel von oben: "Resz0f=Resz0gh=g(z0)h′(z0)". Es lohnt sie nur dann zu nutzen, wenn du den Nenner nicht faktorisieren kannst. Wenn du schon faktorisiert hast, finde ich die Formel Resaf=limza(z-a)f(z) besser.


"Also Beispielsweise:
∫∞−∞2x2x4+4dx

Nullstellen bei +/−1+/−i (sagen wir wir benutzen nur 1+i und −1+1)"

Nun, da x4+4=(x+1+i)(x+1-i)(x-1+i)(x-1-i) gilt, hast du 4 einfache Pole. Und dann geht es mit limza(z-a)f(z) sehr einfach.

Aber wenn du nicht wüsstest, wie man den Nenner faktorisiert, könntest du mit "deiner" Formel arbeiten. Was Zahler und Nenner ist, ist offensichtlich. Zähler steht oben und Nenner unten, so einfach ist das. Also g(x)=x2 und h(x)=x4+4. Damit hast du Resaf=Resagh=g(a)hʹ(a)=a24a3 für alle 4 Nullstellen von x2+4.



"Geht mir da nur ums umformen auf den richtigen Zähler und Nenner danach ist der Weg wieder klar indem man 2πi∗(Res1+Res2)=..."

Na, wenn es wirklich das Integral -... sein muss, ist der Weg gar nicht so klar und auf jeden Fall nicht so wie du es geschrieben hast.
IamDS

IamDS aktiv_icon

18:24 Uhr, 14.06.2021

Antworten
Ich steh glaub ich echt auf der Leitung...

Nehmen wir das Beispiel aus der Übung hier (siehe Anhang).

gegeben ist also z2z4+4.

Nullstellen im Nenner sind (+/-1+/-i) wobei nur 1+i und -1+i in der gegebenen Ebene liegen, damit haben wir nur mehr 2 statt 4 Polstellen.

So weit so gut dann setz ich das in die Formel ein:

Resaf=gh=g(a)hʹ(a)=(1+i)24*(1+i)3=2i4*(1+i)3(falsch)

Ich weiß einfach nicht wie ich auf die 14*(1+i) komme.

Keine Ahnung warum mir dieses recht einfache Kapitel (fast nur Einsetzübungen) so viele Probleme bereitet aber ich bin froh das dies meine letzte Mathematik LV ist.


that
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:25 Uhr, 14.06.2021

Antworten
Da (1+i)2=2i, gilt natürlich (1+i)3=2i(1+i) und deshalb 2i4(1+i)3=14(1+i), womit 2i4(1+i)3 nicht falsch, sondern richtig ist.
Frage beantwortet
IamDS

IamDS aktiv_icon

22:52 Uhr, 14.06.2021

Antworten
Achsooo :o vielen lieben Dank die Frage ist damit endlich erledigt. Danke für deine Geduld!