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Residuum in Singularität bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

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23:02 Uhr, 13.04.2024

Hey,

es ist schon etwas her, dass ich mich mit der Funktionentheorie beschäftigt habe.
Ich wollte das Residuum der Funktion

f (z) = \frac{1 - c o s (z)}{z^{2}}

berechnen. Die Singularität ist denke ich

z_{0} = 0

.

Jetzt will ich die Laurent-Entwicklung von

f

z_{0} = 0

bestimmen.

Dazu habe ich die Reihenentwicklung benutzt:

c o s (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{z^{2 n}}{(2 n)!} = \frac{z^{0}}{0!} - \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} . . .

f (z) = \frac{1 - c o s (z)}{z^{2}} = \frac{1 - (1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{z^{2 n}}{(2 n)!})}{z^{2}} = - \frac{1}{2} + \frac{z^{2}}{4!} . . .

(z - z_{0}) = (z - 0) = z

und wir

0 * z^{- 1}

haben folgt:

r e s_{z = z_{0}} f = a_{- 1} = 0

.

Meine erste Frage ist: Stimmen meine Gedanken.
Meine zweite Frage: Da wir das

\frac{1}{z^{2}}

ja durch die Reihenentwicklung wegkürzen können, wäre die Singularität hebbar und damit automatisch

r e s_{z = z_{0}} f = 0

?
Meine dritte Frage: Wir wollen die Laurent-Entwicklung zu einem geeigneten

R > 0

definieren, sodass

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}

für

z \in U_{R} (z_{0}) \ {z_{0}}

gilt. Welches

R

muss ich bei meiner Rechnung wählen? Meine Idee wäre

R = \infty

?

Schönes Wochenende

Felix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

07:12 Uhr, 15.04.2024

Vorzeichenfehler: Es ist

f (z) = \frac{1}{2} - \frac{z^{2}}{4!} + \frac{z^{4}}{6!} \mp \dots

Die Singularität im Punkt

z = 0

ist hier offenbar hebbar, d.h., mit Ergänzung

f (0) = \frac{1}{2}

ist

f

sogar eine ganze Funktion. Damit ist Residuumwert Null ohnehin klar. D.h., ich kann deine diesbezüglichen Gedanken bestätigen, inklusive dem

R = \infty

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11:46 Uhr, 15.04.2024

Alles klar, vielen Dank.

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