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Restgliedabschätzung eines Taylorpolynoms

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Restgliedabschätzung, Taylerpolynom, Taylorentwicklung

sussy aktiv_icon

16:45 Uhr, 13.06.2021

Hallo,
Ich hänge gerade an einer Aufgabe. Wir sollen das Taylorpolynom 3. Ordnung an der Entwicklungsstelle

x_{*} = 0

bestimmen und eine Restgliedabschätzung für das Intervall

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

durchführen.
Mein Fortschritt ist wie folgt:

T_{3, 0} = x - \frac{x^{3}}{6}

und nach Lagrange's Restgliedformel

R (\frac{π}{2}) = ∣ \frac{s i n (ξ)}{4!} (\frac{π}{2})^{4} ∣

mit

ξ \in [0, \frac{π}{2}]

R ist dann am größten wenn

s i n (ξ) = 1

gilt, also

ξ = \frac{π}{2}

. Somit komme ich auf

R (\frac{π}{2}) = \frac{π^{4}}{384} \approx 0, 25

.
Wenn ich aber dann mal überprüfe mit

R (\frac{π}{2}) = s i n (\frac{π}{2}) - T_{3, 0} (\frac{π}{2}) \approx 0, 075

Wo liegt hier mein Fehler? Habe ich irgendeine Formel falsch benutzt? Ich würde mich sehr über feedback freuen. Vielen Dank im Voraus!

Gruß,
sussy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

17:01 Uhr, 13.06.2021

"Wenn ich aber dann mal überprüfe mit R(π2)=sin(π2)−T3,0(π2)≈0,075"

Du musst dich fragen, was du überprüfst. Du hast den Restglied abgeschätzt, da kannst du doch im Ernst erwarten, dass du dann für die Differenz exakt den gleichen Wert hast. Bei der Abschätzung verschenkt man schon automatisch was, dafür ist es eine Abschätzung.

sussy aktiv_icon

17:08 Uhr, 13.06.2021

Du hast Recht, dass es nur eine Abschätzung ist und im Grunde genommen ist das tatsächliche R auch kleiner als meine obere Schranke. Jedoch hat es mich sehr verunsichert, dass die Abschätzung doch "so grob" war. Aber jetzt hab ich auf jedenfall in etwa ein Gefühl, dass es auch sehr ungenau sein kann.
Vielen Dank für die schnelle Antwort DrBoogie!

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