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Restklassenkörper Erzeugung

Universität / Fachhochschule

Tags: Körper, Restklassenkörper

dbe18 aktiv_icon

10:47 Uhr, 03.09.2011

Hi zusammen,

Am Dienstag schreibe ich Klausur zum Thema Gruppen, Ringe und Körper. Speziell die endlichen Körper der Ordnung

p^{n}, p

ist prim, bereitet mir Schwierigkeiten.
Eine Aufgabe lautet.

Geben Sie ein Polynom

f (y) \in F_{9} [y]

an mit den sich

F_{3}^{6}

als

F_{9} [y] / {f F}_{9} [y]

konstruieren lässt. Zeigen Sie auch dass

f

über

F_{9}

irreduzibel ist.

Nun mein erstes Kopfzerbrechen bereitet mir der Begriff

F_{9} [y]

.
Unter einem Polynomring

F_{3} [y],

kann ich mir schon eher was vorstellen. Nämlich alle Polynome mit Koeffizienten aus

F_{3} = {0,1,2}

F_{9} [y]

jedoch besitzt schon die Ordnung

3^{2},

sprich enthält schon Polynome. Oder liege ich hier falsch und es werden alle Polynome mit den Koeffizienten aus

{0,1, ..., 8}

betrachtet. Leider finde ich im Skript keine Erklärung.

Das eigentliche Ziel, die Konstruktion eines Restklassenkörper

F_{9} [y] / {f F}_{9} [y] \Leftrightarrow F_{3}^{6}

ist mir (so glaube ich klar). Hierfür benötige ich ein Polynom 5-ten Grades, eben aus dem Polynomring. Es muss noch gezeigt werden, dass dieses irreduzibel über

F_{9} [y]

ist. Welches Vorgehen bieten sich denn für die Bestimmung von irreduziblen Polynomen an?

Für eure Anregungen bin ich sehr dankbar und schon ein mal vielen Dank im Voraus

Grüße

Dennis

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

12:38 Uhr, 03.09.2011

Hallo,

ach, endlich mal wieder was interesannteres als Integrale, Ableitungen, oder allgemein: höheres Kampfrechnen.

Zu

F_{9} [y]

: Im allgmeinen ist für jeden Körper

K

das Konstrukt

K [y]

der Polynomring in

y

über

K

.
Bei dir also ist

F_{9} [y]

der Polynomring in der Variablen

y

über dem Körper

F_{9}

.
Und die Vorstellung, dass

F_{9}

schon aus Polynomen besteht, halte ich hier für nicht hilfreich. Erstens enthält

F_{9}

RESTKLASSEN von Polynomen und zweitens ist ein Polynomring im allgemeinen kein Körper!
Ich weiß, dass es schwierig ist, aber du musst die Konstruktion von

F_{9}

als Lokalisierung eines Polynomrings nach einem maximalen Ideal wieder in den Hintergrund rücken und den Körper als solchen mehr betrachten. Vergessen darfst du das das Hauptideal erzeigende Polynom aber nicht ganz.

Man kann nämlich

F_{9}

aus

F_{3} ≅ ℤ_{3}

auch wie folgt konstruieren: Man stellt fest, dass

\overline{2} \in F_{3}

keine Wurzel hat, d.h.

y^{2} - 2 \in F_{3} [y]

irreduzibel ist. Folglich kann man folgende Menge betrachten

M := {a + b \sqrt{2} ∣ a, b \in F_{3}} = F_{3} [\sqrt{2}]

. Mit den ererbten Verknüpfungen Addition und Multiplikation ist

M

ein Körper (nachprüfen) mit tatsächlich 9 Elementen:

0

\sqrt{2}

2 \sqrt{2}

1

1 + \sqrt{2}

1 + 2 \sqrt{2}

2

2 + \sqrt{2}

2 + 2 \sqrt{2}

.
Damit erweist sich

(M, +, \cdot)

als ein zu

F_{9}

isomorpher Körper (kannst du einen Isomorphismus konstruieren?). Dabei tritt das maximale Ideal

f F_{3} [y]

scheinbar nicht mehr in Erscheinung. Warum nur scheinbar?
Nun, nimm

f := y^{2} - 2

, dann ist damit

F_{3} [y] / f F_{3} [y]

ein Körper, indem

x^{2} - 2 = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} = 2

eine Lösung hat. Eine (der beiden) Lösungen ist in

F_{3} [y] / f F_{3} [y]

übrigens die Restklasse

\overline{y}

).

So, soviel erst einmal zu den Zusammenhängen zwischen der Konstruktion von Körpern mit dem Verfahren nach Kronecker und dem Verfahren mit Adjunktion.

Dir sollte bewusst sein (denke ich zumindest), dass

F_{3^{6}}

der Zerfällungskörper des Polynoms

x^{(3^{6})} - x = x^{729} - x

über

F_{3} ≅ ℤ_{3}

ist. Wenn das nicht so wäre, wäre die Angabe eines entprechenden Polynoms recht schwierig.
Genauso ist

F_{9}

der Zerfällungskörper von

x^{9} - x

über

F_{3}

.

Nun kommt der Trick, sich ein Polynom zu erarbeiten! Dazu zeige ich dir, in welche Faktoren

x^{9} - x

über

F_{3}

zerfällt:

x^{9} - x = x (x^{8} - 1) = x ((x^{4})^{2} - 1^{2}) = x (x^{4} - 1) (x^{4} + 1) = x (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) (x^{2} + x - 1) (x^{2} - x - 1)

= x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) (x^{2} + x - 1) (x^{2} - x - 1)

Damit das Polynom

x^{9} - x

zerfällt, muss also das Polynom

x^{2} + 1 \equiv x^{2} - 2

mod 3 zerfallen. Zerfällt dieses, so auch die beiden anderen, daher reichte es, an

F_{3}

eine Nullstelle von

x^{2} - 2

zu adjungieren, also gerade

\sqrt{2}

.

Nach gleichem Muster könntest du das Polynom

x^{729} - x

zerlegen. Dafür bietet es sich an,

Π_{a \in F_{9}} (x - a) = x^{9} - x

auszuteilen. ;-)

Damit zum letzten Irrtum in deinem posting: Der Grad

[F_{3^{6}} : F_{3^{2}}]

ist gleich 3, nicht gleich 5.

Wenn noch Fragen auftauchen, melde dich ruhig.

Mfg Michael

dbe18 aktiv_icon

14:44 Uhr, 03.09.2011

Hallo Michael,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Leider kann ich dir nicht folgen. Liegt aber wohl daran, dass ich die Theorie nicht ausreichend beheersche.

Begriffe wie Zerfällungskörper sind mir klar. In einem Zerfällungskörper befinden sich alle Nullstellen eines Polynoms. Jedoch ist mir nicht klar was ein Zerfällungskörpers bringt. Wenn ich ein Polynom zerlege, dann zerlege ich es (auch wenn es unelegant ist) analog zu einer Primfaktorzerlegung.

Auch

F_{9} [y]

ist mir immer noch unklar. In meinem Skript ist immer die Rede von

F_{2} [x] =

Polynomring

= {. .

. alle Polynome mit Koeffizienten 0 und oder

1 . .

}

F_{2} = {0, 1}

F_{4} = {0, 1, x, x + 1}

was wäre denn jetzt

F 4 [x]

etwa alle Polynome mit Koeffizienten aus

F_{4}

. Solange ich das nicht verstehe, verstehe ich auch die Aufgabe nicht.

Viele Grüße

Dennis

michaL aktiv_icon

20:50 Uhr, 03.09.2011

Hallo Dennis,

ich hab mir das schon gedacht, dass es nicht ganz einfach wird.

Ok, betrachten wir mal

F_{2}

und den Erweiterungskörper

F_{4}

.
Dei Sache ist nur die,

F_{4}

fällt ja nicht vom Himmel. Du schreibst einfach so

F_{4} = {0, 1, x, x + 1}

. Da stellt sich doch aber die Frage, was

x

ist?!

Deshalb kam Kronecker

^{[1]}

auf folgenden Gedanken: Das Polynom

f := x^{2} + x + 1

ist über

F_{2}

irreduzibel, da es in

F_{2}

KEINE Nullstellen hat (nachprüfen!).
Damit ist das Hauptideal

〈 x^{2} + x + 1 〉 = 〈 f 〉 = f \cdot F_{2} [x]

maximal. Aus der Maximalität folgt, dass der Quotientenring

F_{2} [x] / 〈 f 〉

selbst ein Körper ist.

Dann wollen wir mal schauen, was für Elemente in

F_{2} [x] / 〈 f 〉

enthalten sind. Beachte, dass es sich um eine Quotientenstruktur handelt!
Natürlich sind

0 + 〈 f 〉

und

1 + 〈 f 〉

darin enthalten, ebenso

x + 〈 f 〉

und

x + 1 + 〈 f 〉

. Was ist aber mit

x^{2} + 〈 f 〉

? Nun, wegen

f = x^{2} + x + 1 \in 〈 f 〉

, gilt

x^{2} + 〈 f 〉 = x + 1 + 〈 f 〉

. Ebenso gilt:

x^{2} + 1 \equiv x

modulo

〈 f 〉

, usw.

Damit kann man also

F_{2} [x] / 〈 f 〉 = {0 + 〈 f 〉, 1 + 〈 f 〉, x + 〈 f 〉, x + 1 + 〈 f 〉}

schreiben.
Soweit sollte dir alles klar sein, immerhin kann ich (abgesehen von der falschen Schreibweise) dieses Wissen bei dir erkennen.
Bitte nimm zur Kenntnis, dass

x + 〈 f 〉

eine Nullstelle von

x^{2} + x + 1

über

F_{2} [x] / 〈 f 〉

ist (die andere ist übrigens

x + 1 + 〈 f 〉

(x + 〈 f 〉)^{2} + (x + 〈 f 〉) + 1 + 〈 f 〉 = x^{2} + x + 〈 f 〉 = 0 + 〈 f 〉

.
Die Schreibweise mit

+ 〈 f 〉

ist ganz schön sperrig, oft schreibt man statt

x + 〈 f 〉

auch einfach

\overline{x}

, wenn man weiß, um welche Restklasse es sich handelt.

So weit jede Einführungsveranstaltung in die Algebra, die ich vor 20 Jahren besucht haben könnte.

Wenn man allerdings wüsste, dass es für jedes Polynom eine Nullstelle in irgendeinem Erweiterungskörper gäbe, also konkret: Wenn man wüsste, dass das Polynom

x^{2} + x + 1

aus

F_{2} [x]

in einem Erweiterungskörper

K

eine Nullstelle hätte, so könnte man sich den ganzen Sims mit

\overline{x}

oder

+ 〈 f 〉

sparen. Dann könnte man sagen: Sei

z \in K

so eine Nullstelle, d.h. es gilt

z^{2} + z + 1 = 0

K

.

Dann kann man folgende Struktur betrachten:

M := {a + b \cdot z ∣ a, b \in F_{2}} \subseteq K

. Das interessante ist, dass

M

mit der Multiplikation und Addition von

K

(die die von

F_{2}

erweitert) selbst wieder ein Körper ist. Das kannst du einfach nachrechnen. Der Körper hat 4 Elemente:

0

1

z

und

1 + z

(erkennst du die Analogie?).
Die Körper mit 4 Elementen sind aber alle isomorph (kein einfaches Ergebnis!), d.h. bis auf Isomorphie gilt

M = F_{4}

.
Warum das ganze? Auf diese Weise bist du die Polynome losgeworden, da hier keine Rede mehr von Restklassen irgendwelcher Polynome ist.
Und darin bestand mein Rat! Verstehe

F_{9}

NICHT als Restklassenring irgendwelcher Polynome, der selbst (zufälligerweise?) ein Körper ist. Und über einem Körper kann man den Polynomring betrachten, das ist eigentlich nichts ungewöhnliches!

Erst mal bis hierher. Mitgekommen?

Mfg Michael

Weblinks:
[1]: www.mathi.uni-heidelberg.de~bartels/Alt/Koerpertheorie08/Vortrag%204.pdf

michaL aktiv_icon

12:18 Uhr, 04.09.2011

Hallo,

wenn dir nur am Finden des irreduziblen Polynoms DRITTEN Grades gelegen ist, dann solltest du wie folgt vorgehen:

1. verstehe

F_{9}

als

F_{3} [\sqrt{2}]

oder auch als

F_{3} [\sqrt{- 1}]

.
2. Finde ein Polynom dritten Grades, das keine Nullstelle in

F_{9}

hat.

Das allgemeine Polynom dritten Grades über

F_{9}

ist ja von der Form

a x^{2} + b x + c

. Der Einfachheit halber kannst du von einem normierten Polynom ausgehen, also

x^{2} + b x + c

. Bleiben nur 81 dieser Polynome. Also eine Fleißarbeit. Der Tipp mit dem Zerfällungskörper ist auch nicht weniger arbeitsintensiv.

Mfg Michael

dbe18 aktiv_icon

12:22 Uhr, 04.09.2011

Hallo Michael,

gerade gehe ich noch ein mal dein vorheriges Posting durch. Noch ein mal vielen Dank für deine Mühe. Ich denke ich komme voran. Zumindest bin ich gezwungen noch ein mal einige Begrifflichkeiten nachzuholen.

Vielen Dank und Grüße

Dennis

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