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Restklassenring Zp
Universität / Fachhochschule
Körper
Tags: Körper
 
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Hallo die Aufgabe ist: Sei Ele. . Zeigen Sie, dass Zp genau dann ein Körper ist, wenn prim ist. Meine Fragen sind: Zp ist doch der Restklassenring modulo (Beispiel: oder ? (ii) Man muss hier doch zeigen, dass Zp abelsche Gruppe ist bzw. insbesondere dass überall das inverse Element existiert ? - Die Idee ist doch, dass keine Multiplikation zweier Elemente sein kann, da prim ist also kein Problem mit inversen Elementen besteht, richtig ? Man argumentiert in der Verknüpfungstabelle ? Welchen Zweck hat die Verknüpfungstabelle eigentlich genau außer dem oben genannten (keine "0") ? (iii) Falls die Idee richtig ist, wie notiert man das ? (iv) Ich kann mir zur Addition bzw. Multiplikation im Restklassenring / modulo immernoch keine gute Vorstellung machen ? - Hat einer einen Tip, wie man sich das gut vorstellt ? - (Wenn ich mir das ganze im Zusammenhang mit Kommutativität, Assoziativität und Distributivität vorstelle und wie ich das modulo da immer durchkriege setzt es bei mir aus Oder mache ich mir da zuviele Probleme etc. ? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar. Vielen Dank im Voraus. Grüße Christopher |
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Hallo Christopher, es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Beweis zu führen, abhängig vom Wissensstand. Wenn man gar nichts über weiß, muss man erst mal zeigen, dass es überhaupt ein kommutativer Ring mit 1 ist, der ein Körper genau dann ist, wenn prim ist. Das geht, indem man die Existenz von multiplikativen Inversen mit dem euklidischen Algorithmus beweist bzw., im Fall nicht primem 's, die Existenz von Nullteilern. Man kann auch beachten, dass ein Ring nach einem Ideal lokalisiert wird () und den Satz anwenden, wonach solche Ringe genau dann Körper sind, wenn die Ideale, wonach lokalisiert wird, maximal sind. Da es sich bei um einen euklidischen Ring handelt, sind prim und maximal bei seinen Idealen das gleiche und fertig. Gib doch also mal an, ob du grad Einführung in die Algebra oder Algebra hörst, was für Sätze ihr hattet und so. Mfg Michael |
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Ich höre diskrete Mathematik (Grundstudiumsveranstaltung). Da ich in den Vorlesungen nicht anwesend sein konnte, weil ich berufstätig bin, habe ich keine Ahnung welche Sätze benutzt werden dürfen. Welche wäre denn die elementarste Art das zu zeigen und sehe ich denn zumindest den Knackpunkt richtig (Existenz des Inversen für alle Ele. zu zeigen) ? |
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Hallo Christopher, ich denke, du hast den Knackpunkt erkannt. Wie gesagt, im Falle einer Nichtprimzahl kann man durch Angabe eines Nullteilers (der kann dann ja keine Einheit sein [warum?]) sich die Sache vereinfachen. Ist für zwei , so ist , aber . Ist aber prim, mit , so musst du beweisen, dass es ein multiplikatives Inverses gibt. Kein Problem, denn ist dann zu teilerfremd (warum?), weshalb es gibt, sodass gilt. In geschrieben heißt die Gleichung: . Also damit sind mehr als nur die groben Strukturen sichtbar, hoffe ich. Es bleiben aber immer noch Details. Die sind aber wichtig, ohne die ist der Beweis unvollständig und eigentlich nutzlos. Mfg Michael |
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