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Rezept für diese Integration? (Substitution)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

ScientistSalarian aktiv_icon

11:38 Uhr, 23.06.2014

also ich tue mich recht schwer wie man trigonometrische Funktionen integriert. Wie kann ich mit Substitution dieses Integral lösen?

\int \frac{sin (x) \cdot cos (x)}{1 + 3 {cos}^{2} x}

Ich soll das nun irgendwie substituieren. Hab es mit dem nenner versucht, habe aber ein

x

übrig und kann es nicht recht kürzen. Kann mir ejmadn helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:42 Uhr, 23.06.2014

Hallo,

versuchs mal mit der substitution

u = cos (x)

.

Gruß pwm

Loewe1

11:43 Uhr, 23.06.2014

Hallo,

die Substitution

z = 1 + 3 {cos}^{2} (x)

führt zum Ziel.

ScientistSalarian aktiv_icon

16:00 Uhr, 23.06.2014

Ja Danke so weit war ich auch schon :-)
Hab die Kettenregel gemacht, dann den Faktor 6 sinx und jetzt gehts irwie nicht recht weiter. Kann mir jemand zeigen was nach dem

\frac{d z}{d x}

übrig bleibt und iwe man weiter vorgeht?

Loewe1

16:07 Uhr, 23.06.2014

Hallo,

wenn Du "meinen"Weg meinst:

z = 1 + 3 {cos}^{2} (x)

\frac{d z}{d x} = - 6 sin (x) \cdot cos (x)

d x = \frac{d z}{- 6 sin (x) \cdot cos (x)}

------>eingesetzt:

= - \frac{1}{6} \int \frac{1}{z} \cdot d z

= - \frac{1}{6} \cdot ln | z | + C

Resubstituiert folgt das Ergebnis:

= - \frac{1}{6} ln | 1 + 3 {cos}^{2} (x) | + C

Loewe1

16:14 Uhr, 23.06.2014

Hallo,

das

sin (x) \cdot cos (x)

im Zähler und Nenner kürzt sich ja raus.

ScientistSalarian aktiv_icon

23:53 Uhr, 23.06.2014

also damit ich es richtig verstehe: Den Faktor

- 6

hab ich aus

- 6 sin (x) \cdot cos (x)

im Nenner. Das was im Nenner übrig bleibt kürzt sich mit dem im Zähler weg, was also bleibt ist

- \frac{1}{6}

und

\frac{1}{z}

. Hatt das aber bei mir als

\frac{d z}{z}

geschrieben. Naja muss nicht sein. Hab ich das richtig verstanden?

Loewe1

00:28 Uhr, 24.06.2014

Hallo,

\int \frac{sin (x) \cdot cos (x)}{1 + 3 \cdot {cos}^{2} (x)} d x

d x = \frac{d z}{- 6 \cdot sin (x) \cdot cos (x)}

eingesetzt:

\int \frac{sin (x) \cdot cos (x)}{1 + 3 \cdot {cos}^{2} (x)} \cdot \frac{d z}{- 6 \cdot sin (x) \cdot cos (x)}

sin (x) \cdot cos (x)

wird im Zähler und Nenner gekürzt.

= - \frac{1}{6} \int \frac{d z}{z}

-->Rest :siehe oben.

Hab ich das richtig verstanden? -------->JA

ScientistSalarian aktiv_icon

15:21 Uhr, 24.06.2014

Dann dankeschön :-)

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