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Reziproke Sinus-Reihe

Universität / Fachhochschule

Tags: Sinusreihe

Sukomaki aktiv_icon

14:37 Uhr, 01.11.2023

Hallo,

ich bin beim Surfen auf folgende Gleichheit gestoßen (Wolfram Alpha) :

\sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{\sin^{2} (\frac{π k}{n})} = \frac{1}{3} (n^{2} - 1)

Diese Gleichheit ist mir neu.

Wie kann ich sie beweisen?

G
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:12 Uhr, 01.11.2023

Hallo,

schau hier mal nach:

math.stackexchange.com/questions/544228/finite-sum-sum-limits-k-1m-1-frac1-sin2-frack-pim

Gruß
pivot

Sukomaki aktiv_icon

16:22 Uhr, 01.11.2023

Manches verstehe ich, anderes kann ich nicht nachvollziehen.

Dass

lim_{x \to 0} f (x) = \frac{1}{3}

kann ich mit einer Taylor-Näherung zeigen.

0 < f (x) < C

ist auch klar.

Die Substitution

x = \frac{k π}{2 n + 1}

sowieso.

Als nächstes bilden wir die Summe über alle Terme.

Auf der rechten Seite wird offensichtlich

\frac{π^{2} C n}{(2 n + 1)^{2}}

aus

\frac{π^{2} C}{(2 n + 1)^{2}}

Aber warum summieren wir von

1

bis

n

und nicht bis

n - 1

, wie es in der Formel gefordert wird?

Wo kommt das

\frac{π^{2} \cdot 2 n (n + 1)}{3 \cdot (2 n + 1)^{2}}

her?

Wie bringt mich der Grenzwertübergang

n \to \infty

weiter?

Und wohin verschwindet dabei das

π^{2}

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16:45 Uhr, 01.11.2023

Ich habe mir jetzt alle Antworten durchgelesen. Ich kann jetzt nicht sagen ob ich alle Antworten direkt nachvollziehen kann. Jedenfalls wäre es günstig, wenn du deutlich machst auf welche der

9

Antworten du dich beziehst.

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16:59 Uhr, 01.11.2023

Ach so natürlich :

Ich beziehe mich auf den Beweis des Autors. Also noch vor den neun Antworten.

Direkt der "Proof" nach der "Motivation".

HAL9000

17:48 Uhr, 01.11.2023

Ich hab auch mal kurz quergelesen: Der Beweis des Autors ist nicht das, was du suchst - denn da wird eben jene Behauptung (*) genutzt, um

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

zu beweisen. Aber (*) selbst wird da nicht bewiesen - dazu musst du etwas weiter runter scrollen.

Insgesamt sind die meisten auf einem Niveau, wo ich sagen muss: Da wäre ich allein nicht drauf gekommen.

Sukomaki aktiv_icon

21:39 Uhr, 01.11.2023

Na, Du machst mir Mut. Wenn das Niveau schon so hoch ist, dass selbst Du nicht allein drauf gekommen wärst :-D)

Ich werde die neun Antworten in Ruhe durchgehen. Vielleicht ist ja eine dabei die ich auf Anhieb verstehe.

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17:53 Uhr, 02.11.2023

Hallo pivot und Hal9000.

Ich hänge schon an der ersten Antwort.

Wie komme ich von

lim_{x \to 0} (\frac{m^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{m})})

auf

\frac{m^{2} - 1}{3}

?

Das ist

\infty - \infty

und somit scheidet de l'Hopital aus.

Auch der Versuch, die Brüche gleichnamig zu machen und zu addieren, scheitert :

Zähler und Nenner bleiben bei jedem Schritt mit de l'Hopital im Grenzwert Null.

Auch mit Taylor-Näherung sehe ich kein Land.

Weiß einer von Euch, was dahintersteckt?

HAL9000

18:28 Uhr, 02.11.2023

L'Hospital scheidet nicht aus, man muss nur den Term sorgsam vorbereiten:

f (x) := \frac{m^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (\frac{x}{m})} = \frac{m^{2} \sin^{2} (\frac{x}{m}) - \sin^{2} (x)}{\frac{x^{4}}{m^{2}}} \cdot \frac{x^{2} \cdot \frac{x^{2}}{m^{2}}}{\sin^{2} (x) \sin^{2} (\frac{x}{m})}

Dann gilt wegen

lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin (t)} = 1

sowie mit

\sin^{2} (t) = \frac{1 - \cos (t)}{2}

schon mal

lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} m^{2} \cdot \frac{m^{2} - m^{2} \cos (\frac{2 x}{m}) - 1 + \cos (2 x)}{2 x^{4}}

Dies jetzt mit L'Hospital bearbeiten, oder alternativ der Reihenentwicklung der Kosinusfunktion.

Sukomaki aktiv_icon

19:21 Uhr, 02.11.2023

\sin^{2} (t) = \frac{1 - \cos (2 \cdot t)}{2}

Aber der Rest sieht okay aus.

Muss ich den de l'Hôpital echt viermal anwenden?

Das schreit ja geradezu nach Vorzeichenfehlern.

Da bevorzuge ich die Reihenentwicklung :-)

Dazu fällt mir eine Anekdote aus meiner Schulzeit ein :

"Herr Bell, muss ich das alles abschreiben?"

--->

"Du kannst auch die Tafel mitnehmen"

hat Herr Bell, unser Mathe-Lehrer in der Oberstufe zu einem verdutzten Schüler gesagt.

HAL9000

19:37 Uhr, 02.11.2023

Ja klar, Schreibfehler,

2 t

im Kosinus. Eingesetzt ist es dann aber richtig.

P.S.: Meinst du so eine Tafel wie unten zu sehen?

Sukomaki aktiv_icon

19:46 Uhr, 02.11.2023

Um Gottes Willen :

Ist das eine echte Vorlesung oder Fake?

Da geht ja alles durcheinander.

So stelle ich mir den für Mathematik zuständigen Teil meines Gehirns vor :-D)

Du hast mehr Humor als ich dachte.

HAL9000

20:08 Uhr, 02.11.2023

Das ist aus dem Film "A Serious Man (2009)" der schwarzhumorigen Brüder Coen. :-D)

Sukomaki aktiv_icon

20:55 Uhr, 02.11.2023

Hey, passend dazu hier ein Thread von einem chaotischen Benutzer :

www.onlinemathe.de/forum/Was-ist-und-kann-mann-rechene

HAL9000

21:02 Uhr, 02.11.2023

Das war bestimmt ein Geheimcode - wer den knackt, kriegt eine hochdotierte Stelle bei der NSA. :-D)

Ich glaube, wir schweifen ab - aber du warst wohl fertig.

Im Ernst: Du hast dir oben ja den Beweis rausgesucht, der auf der Identität

\frac{1}{\sin^{2} (x)} = \sum_{n \in ℤ} \frac{1}{{(x + n π)}^{2}} (*)

beruht. Da war auch ein Link, der zu einem Beweis von (*) führen sollte, aber der lief inzwischen ins Leere - ist ja auch ein paar Jahre her. Hast du inzwischen auf anderem Weg einen Beweis von (*) gefunden?

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21:13 Uhr, 02.11.2023

> Hast du inzwischen auf anderem Weg einen Beweis von (*) gefunden?

Nö, die verlinkten Beweise sind alle nicht gerade einfach.

Aber ich bleibe dran.

Sukomaki aktiv_icon

15:44 Uhr, 07.11.2023

Ein Puzzle-Teil fehlt mir noch zum Verständnis des Beweises :

Warum ist

\sum_{n \in ℤ} \sum_{k = 0}^{m - 1} \frac{1}{(x + (k + n m) π)^{2}} = \sum_{n ʹ \in ℤ} \frac{1}{(x + n ʹ π)^{2}}

?

Es müsste doch zu jedem

n ʹ

genau ein

k + m n = n ʹ

geben.

n = - 2 \Rightarrow k + n m \in {- 2 m, \dots, - m - 1}

n = - 1 \Rightarrow k + n m \in {- m, \dots, - 1}

n = 0 \Rightarrow k + n m \in {0, \dots, m - 1}

n = 1 \Rightarrow k + n m \in {m, \dots, 2 m - 1}

n = 2 \Rightarrow k + n m \in {2 m, \dots, 3 m - 1}

⋮

Damit ist

k + m n

eindeutig

n ʹ

zugeordnet.

Und andersherum ist

k = n ʹ m o d m

und

n = ⌊ \frac{n ʹ}{m} ⌋

Richtig so?

HAL9000

16:35 Uhr, 07.11.2023

Oder kurz:

k + n m

sammelt für FESTES

k

alle Elemente der Restklasse

k mod m

auf. Summiert dann über alle Restklassen bekommt man alle ganzen Zahlen.

Sukomaki aktiv_icon

16:59 Uhr, 07.11.2023

Danke,

dann habe ich diesen Beweis jetzt komplett verstanden.

Gilt das nicht auch für alle Funktionen?

Also :

\sum_{n \in ℤ} \sum_{k = 0}^{m - 1} f_{k + n m} (x) = \sum_{n ʹ \in ℤ} f_{n ʹ} (x)

HAL9000

17:07 Uhr, 07.11.2023

D.h., du hast auch gefunden, wo (*) erklärt wird? Würde mich auch interessieren.

> Gilt das nicht auch für alle Funktionen?

Sofern rechts Konvergenz vorliegt: Ja.

Sukomaki aktiv_icon

19:22 Uhr, 07.11.2023

Geht es um

\frac{π^{2}}{\sin^{2} (π z)} = \sum_{n \in ℤ} \frac{1}{(z - n)^{2}}

?

Das steht im Jänich "Funktionentheorie".

Er argumentiert da mit der Reihe der Hauptteile und dem Satz von Liouville.

Die oben genannte Form benutzt der Autor der "glatteren Formeln" wegen.

Der Hauptteil

h_{0} (z)

ist gleich

\frac{1}{z^{2}}

und die Hauptteile

h_{n} (z)

sind

\frac{1}{(z - n)^{2}}

aufgrund

der Periodizität von Eins von

\frac{π^{2}}{\sin^{2} (π z)}

Sukomaki aktiv_icon

19:41 Uhr, 08.11.2023

Hallo HAL,

ich bin nicht sicher, ob ich unter (*) das Gleiche verstehe wie Du.

Im Nachhinein dachte ich, dass die Partialbruchzerlegung Dir womöglich bekannt ist.

Sukomaki

Sukomaki aktiv_icon

17:53 Uhr, 10.11.2023

Ich finde die thematisierte Gleichheit interessant und da ich einen der Beweise jetzt verstanden habe, schließe ich diesen Thread hiermit.

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