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Riccatische Differentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

stefan111 aktiv_icon

23:15 Uhr, 04.06.2011

Hallo,

schon wieder eine Frage zu Differentialgleichungen; diesmal geht es um eine Riccatische Differentialgleichung;

Angabe:

y ` + y^{2} = \frac{2}{x^{2}}

Über wikipedia habe ich herausgefunden:
"Die Riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form:

y ` (x) = f (x) y^{2} (x) + g (x) y (x) + h (x)

sowie daß eine allgemeine Integration der Riccati-Differentialgleichung mit den üblichen Methoden nicht möglich ist...

Kann mir jemand sagen, wie ich diese Gleichung lösen kann??;
Hab bei wikipedia weiters gelesen, daß man eine Lösung u der Gleichung durch Raten finden könnte und den Rest dann mittels einer Bernoullischen Gleichung lösen könnte....

Allerdings habe ich keine Ahnung, wie das geht....

Danke, schöne Grüße

Yokozuna aktiv_icon

10:00 Uhr, 05.06.2011

Hallo,

wenn man eine partikuläre Lösung

y_{1}

der Differentialgleichung hat, kann man die Riccatische Differentialgleichung durch die Substitution

y = y_{1} + \frac{1}{v}

in eine lineare Differentialgleichung in

v

überführen, die man dann mit den üblichen Methoden lösen kann.
Das Wichtigste ist deshalb, zuerst mal eine partikuläre Lösung zu erraten. Wie wäre es

z . B

. mit

y_{1} = - \frac{1}{x}

\Rightarrow y = - \frac{1}{x} + \frac{1}{v}

Setze dieses

y

und das dazugehörende

y'

mal in die Differentialgleichung

y' + y^{2} = \frac{2}{x^{2}}

ein, dann solltest Du eine lineare Differentialgleichung erhalten. Falls es Probleme gibt, meldest Du Dich einfach wieder.

Viele Grüße
Yokozuna

stefan111 aktiv_icon

01:44 Uhr, 07.06.2011

Danke für die Antwort;

leider habe ich auch bei dieser Angabe etwas vergessen:
es ist zusätzlich die partikuläre Lösung

u (x) = \frac{a}{x}

gegeben...

Das sieht aber ziemlich ähnlich aus wie die Lösung, die du mir geschrieben hast, bis auf das minus...

allerdings verstehe ich schon die Angabe der partikulären Lösung nicht....
was ist mit u(x) gemeint?....bzw. warum hast du dann y1 verwendet...
bzw. wie kommt man dann von y1 auf y?

Sobald ich diese Punkte verstanden habe, kann ich dann ja versuchen, das in die lineare Differentialgleichung einzusetzen...

Danke, schöne Grüße

Yokozuna aktiv_icon

10:40 Uhr, 07.06.2011

Hallo,

sehr häufig kann man die Lösung einer Differentialgleichung nicht in einem Schritt ermitteln. Um

z . B

. die allgemeine Lösung

y (x)

einer linearen, inhomogenen Differentialgleichung zu bekommen, braucht man zuerst die allgemeine Lösung

y_{h} (x)

der zugehörigen linearen, homogenen Differentialgleichung und eine partikuläre Lösung

y_{p} (x)

der inhomogenen Differentialgleichung.

Bei der Riccatischen Differentialgleichung kann man die allgemeine Lösung

y (x)

auch nicht direkt finden. Man benötigt dazu zuerst eine partikuläre Lösung der Riccatischen Differentialgleichung. Zur Unterscheidung von der allgemeinen Lösung

y (x)

(das ist die mit der Integrationskonstanten

C

drin) gibt man der partikulären Lösung einen anderen Namen. Ich habe die partikuläre Lösung

y_{1}

genannt, in der Aufgabe heißt sie

u

oder man könnte sie auch

y_{p}

nennen. Wie ich die partikuläre Lösung nenne, ist egal, hauptsache man kann den Namen von dem der allgemeinen Lösung

y (x)

unterscheiden (vergleiche hierzu auch

y, y_{h}, y_{p}

bei den linearen Differentialgleichungen). Ich bleibe jetzt mal bei

u (x),

weil das in der Aufgabe so vorgegeben war.

Im Gegensatz zu den linearen Differentialgleichungen, bei denen man die partikuläre Lösung durch systematisches Vorgehen (Variation der Konstanten etc.) ermitteln kann, gibt es bei der Riccatischen Differentialgleichung keinen systematischen Weg, um eine partikuläre Lösung zu bekommen. Wie Du bei Wikipedia gelesen hast, muß man diese partikuläre Lösung "erraten". Da das Erraten einer partikulären Lösung nicht immer einfach ist (oft vielleicht sogar unmöglich), wurde bei dieser Aufgabe als Hilfestellung angegeben, daß die partikuläre Lösung die Gestalt

u (x) = \frac{a}{x}

hat, wobei a eine Konstante ist, die man noch so bestimmen muß, das

u (x)

zu einer Lösung der Riccatischen Differentialgleichung wird. Dazu setzen wir

u (x)

in die Riccatische Differentialgleichung ein:

u = \frac{a}{x} \Rightarrow u' = - \frac{a}{x^{2}} \Rightarrow u' + u^{2} = - \frac{a}{x^{2}} + {(\frac{a}{x})}^{2} = - \frac{a}{x^{2}} + \frac{a^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot (a^{2} - a) = \frac{2}{x^{2}} \Rightarrow a^{2} - a = 2 \Rightarrow a_{1} = 2, a_{2} = - 1

Damit haben wir 2 partikulare Lösungen gefunden:

u_{1} = \frac{2}{x}

und

u_{2} = - \frac{1}{x} (u_{2}

hatte ich verwendet)
Welche der beiden partikulären Lösungen Du für die weitere Rechnung verwenden willst, ist egal und bleibt Dir überlassen.
Wenn man nun also die partikuläre Lösung

u

hat, macht man den Ansatz

y (x) = u (x) + \frac{1}{v (x)}

Wenn man diesen Ansatz in die Riccatische Differentialgleichung einsetzt, erhält man schließlich eine lineare inhomogene Differentialgleichung für die Funktion

v (x)

. Hat man die allgemeine Lösung von

v (x),

dann hat man damit auch die allgemeine Lösung

y (x)

der Riccatischen Differentialgleichung.

Viele Grüße
Yokozuna

stefan111 aktiv_icon

14:15 Uhr, 07.06.2011

Danke für die Antwort;

ein paar Dinge habe ich noch nicht verstanden:

also man setzt u(x) in die Riccatische Differentialgleichung ein:

u = \frac{a}{x}

u ` = - \frac{a}{x^{2}}

.....1.) da weiß ich schon nicht, wie man die Ableitung erhält

dann einsetzen in die Riccatische Differentialgleichung:

y ` + y^{2} = \frac{2}{x^{2}}

das heißt, man setzt für

y ` + y^{2}

einfach

u ` + u^{2}

ein?

u ` + u^{2} = - \frac{a}{x^{2}} + (\frac{a}{x})^{2}

- \frac{a}{x^{2}} + \frac{a^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} * (a^{2} - a)

...das ist mir soweit alles klar;
was ich dann nicht verstehe, ist, wie man von

\frac{1}{x^{2}} * (a^{2} - a)

auf

\frac{2}{x^{2}}

kommt... bzw. dann in weiterer Folge auf

a^{2} - a = 2

Leztendlich bekommt man dann

y (x) = u (x) + \frac{1}{v (x)}

Was aber ist dann das v(x)?...eigentlich das Gleiche wie y(x), oder...bzw. wie rechnet man dann das aus?

Danke, schöne Grüße

Yokozuna aktiv_icon

15:02 Uhr, 07.06.2011

Die Ableitung von

\frac{a}{x}

erhält man

z . B

. mit der Quotientenregel oder indem man schreibt

\frac{a}{x} = a \cdot x^{- 1} \Rightarrow \frac{d}{d x} (a \cdot x^{- 1}) = a \cdot \frac{d}{d x} (x^{- 1}) = a \cdot (- 1) \cdot x^{- 2} = - \frac{a}{x^{2}} (a

ist eine Konstante).
Auf der linken Seite der Differentialgleichung haben wir dann nach einsetzen von

u

und

u' :

\frac{a^{2} - a}{x^{2}}

und das

\frac{2}{x^{2}}

ist die rechte Seite der Differentialgleichung

y' + y^{2} = \frac{2}{x^{2}}

Also steht dann da

\frac{a^{2} - a}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}

oder nach Multiplikation mit

x^{2} : a^{2} - a = 2

y (x)

ist nicht das gleiche wie

v (x),

sondern man macht den Ansatz, daß sich die gesuchte Lösung

y (x)

gleich der Summe aus der partikulären Lösung

u (x)

(die wir ja jetzt kennen) und dem Kehrwert einer noch zu bestimmenden Funktion

v (x)

ist. Irgendein Mathematiker hat halt mal entdeckt, daß man auf diese Weise zu einer linearen Differentialgleichung kommt. Probieren wir es mal (ich nehme jetzt für

u

einmal

\frac{2}{x}) :

y = u + \frac{1}{v} = \frac{2}{x} + \frac{1}{v} = 2 \cdot x^{- 1} + v^{- 1} \Rightarrow y' = 2 \cdot (- 1) \cdot x^{- 2} + (- 1) \cdot v^{- 2} \cdot v' = - \frac{2}{x^{2}} - \frac{v'}{v^{2}}

Setzen wir die Ausdrücke für

y

und

y'

in die Differentialgleichung ein:

- \frac{2}{x^{2}} - \frac{v'}{v^{2}} + {(\frac{2}{x} + \frac{1}{v})}^{2} = \frac{2}{x^{2}} \Rightarrow - \frac{2}{x^{2}} - \frac{v'}{v^{2}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{x \cdot v} + \frac{1}{v^{2}} = \frac{2}{x^{2}}

Die Ausdrücke mit

x^{2}

im Nenner heben sich gegenseitig auf und es bleibt übrig:

- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{4}{x \cdot v} + \frac{1}{v^{2}} = 0

Nach Multiplikation mit

(- v^{2})

erhalten wir

v' - \frac{4 \cdot v}{x} - 1 = 0

Das ist jetzt eine lineare, inhomogene Differentialgleichung für

v,

die man mit den üblichen Verfahren lösen kann. Und wenn man

v

bestimmt hat, hat man damit auch

y = u + \frac{1}{v}

.

Viele Grüße
Yokozuna

stefan111 aktiv_icon

16:05 Uhr, 07.06.2011

Super, danke; zumindest diesen Teil habe ich jetzt verstanden;

allerdings weiß ich auch die Lösung für die lineare, homogene Differentialgleichung nicht...

v ` - \frac{4 * v}{x} - 1 = 0

zuerst wird umgeformt:

v ` = \frac{4 * v}{x} + 1

jetzt weiß ich aber schon nicht, was aus dem v wird...

\frac{d v}{d x} = \frac{4 * v}{x} + 1 ? ?

Danke, schöne Grüße

Yokozuna aktiv_icon

16:51 Uhr, 07.06.2011

Bevor man sich mit so Dingen wie der Riccatischen Differentialgleichung beschäftigt, sollte man eigentlich die Grundlagen der Differentialgleichungen kennen und da gehört das Lösen von linearen Differentialgleichungen bestimmt dazu.
Also ein Schnellkurs in linearen Differentialgleichungen. Wir haben eine lineare, inhomogene Differentialgleichung:

v' - \frac{4 \cdot v}{x} = 1

Das 1 auf der rechten Seite ist der inhomogene Anteil. Man sucht zuerst die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung, in diesem Fall durch Trennung der Variablen:

v' - \frac{4 \cdot v}{x} = 0 \Rightarrow v' = \frac{4 \cdot v}{x} \Rightarrow

dv/v

= 4 \cdot \frac{d x}{x} \Rightarrow

\int

dv/v

= 4 \cdot \int \frac{d x}{x} \Rightarrow ln (v) = 4 \cdot ln (x) + ln (C) = ln (x^{4}) + ln (C) = ln (C \cdot x^{4}) \Rightarrow v_{h} = C \cdot x^{4}

Jetzt brauchen wir noch eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Die gewinnen wir durch Variation der Konstanten,

d . h .,

wir nehmen an, daß

C

nicht konstant ist, sondern eine Funktion von

x,

also

C = C (x) \Rightarrow

v_{p}' = C' \cdot x^{4} + C \cdot 4 \cdot x^{3}

Einsetzen in die inhomogene Differentialgleichung:

C' \cdot x^{4} + C \cdot 4 \cdot x^{3} - 4 \cdot \frac{C \cdot x^{4}}{x} = 1 \Rightarrow C' \cdot x^{4} + C \cdot 4 \cdot x^{3} - 4 \cdot C \cdot x^{3} = 1

Die beiden Terme mit

x^{3}

heben sich gegenseitig auf und es bleibt übrig:

C' \cdot x^{4} = 1

Trennung der Variablen:

C'

dC/dx

= \frac{1}{x^{4}} \Rightarrow

= \frac{d x}{x^{4}} = x^{- 4} \cdot d x \Rightarrow \int

= \int x^{- 4} \cdot d x \Rightarrow C = - \frac{1}{3} \cdot x^{- 3} = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} \Rightarrow

v_{p} = - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{4} = - \frac{x}{3}

Gesamtlösung:

v = v_{h} + v_{p} = C \cdot x^{4} - \frac{x}{3}

\Rightarrow

Lösung der Riccatischen Differentialgleichung:

y = \frac{2}{x} + \frac{1}{C \cdot x^{4} - \frac{x}{3}} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x \cdot (C \cdot x^{3} - \frac{1}{3})}

Wenn man möchte, kann man das noch auf einen Nenner bringen.

Viele Grüße
Yokozuna

stefan111 aktiv_icon

17:32 Uhr, 07.06.2011

Super, danke; ja, stimmt, mir fehlen da voll die basics; die werde ich mir demnächst anschauen...muss(te) aber diese Aufgabe lösen...
Falls doch noch Fragen zu diesem Beispiel auftauchen sollten, werde ich mich noch einmal melden...

Danke, schöne Grüße

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