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Richtige Entscheidung der Integralgrenzen
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration
 
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Hallo, ich habe noch eine allgemeine Frage, habe meine letzte Frage zu früh geschlossen. http://sos-mathe.ch/a/a2/a24/aufg_a24.html Von dieser Seite und die richtigen Nullstellen habe ich dank eurer grandiosen Hilfe ermittelt, nur jetzt muss ich ja die Funktionen integrieren. Und hierbei weiß ich nicht, wie ich die Integrationsgrenzen wählen muss?! Das sind die Lösungen mit den gesetzten Integrationsgrenzen der Aufgaben: sos-mathe.ch/pdfa/a24_1.pdf Beispielsweise habe ich gedacht ich muss die Grenzen bei bei und -1,(jeweils die kleinsten Nullstellen) sowie die größten Nullstellen, also 1 und 3 setzen. Aber das ist ja nun gar nicht so, und ich finde nichts im Internet was mir Auskunft darüber gibt, wie ich die mehrfachen Grenzen richtig setzen muss. Ich hoffe ihr seid zum einen nicht sauer auf mich für solche dummen Fragen, zum anderen kann ich mich daran aus der Schulzeit wirklich nicht erinnern, ihr wisst schon wieso nicht... Naja ich danke euch viel mals!!!! LG Ia |
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Hallo am besten hättest du die fkt. geplottet, dann sieht man welche Flächen sie mit der Achse einschliesst. eine zwischen und 0 also das Integral von bis eine zweite, von 0 bis die ist negativ, also nimmt man für die fläche den Betrag. die Summe ist dann die Gesamtfläche. bei das selbe, immer von einer Nullstelle zur nächsten, und immer den Betrag des Integrals und immer die Kurve plotten lassen oder wenigstens skizzieren, dann sieht man, was zu tun ist. Gruß ledum |
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Hi Ledum, Hier www.onlinemathe.de//forum/x3-2x2-3x-Nullstellen-bestimmenwie-bei-x3-Fkt siehst du die Funktion um die es geht. MfG Ia |
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Dir ist sicher schon aufgefallen, dass beim bestimmten Intgeral auch mal etwas Negatives rauskommen kann, oder. Nehmen wir mit . Dieses Integral berechnet den *orientierten* Flächeninhalt zwischen dem Graph von und der x-Achse. D.h. Flächen oberhalb der x-Achse werden positiv, Flächen unterhalb der x-Achse aber negativ. Wenn du jetzt über eine Nullstelle von munter drüberintegriest, so wie du das bei Aufgabe c) gemacht hättest, dann heben sich die berechneten vorzeichenbehafteten Flächen teilweise auf. Wenn also in der Schulmathematik Flächen gesucht sind, sind in aller Regel die Beträge gefragt, da die Schulmathematik i.a. keine orientierten Flächen betrachtet. Es ist eigentlich gesucht und bei Beträgen müssen wir immer Fallunterscheidungen machen, nämlich die Fälle und getrennt behandeln. Im Falle gegebenen Flächenberechnungen heißt das also "nie über die Nullstellen des Integranden hinwegintegrieren!". Immer alle Nullstellen berechnen, der Größe nach ordnen, dann einzeln von einer zur nächsten intgerieren, von jedem Einzelergebnius den Betrag nehmen und dann alles addieren. Was ledum dir sagen wollte ist, dass du dir mithilfe einer Grafik eine Vorstellung darüber verschaffen solltest, wie viele Teilintegrale du berechnen musst, wo du die Grenzen setzen musst und wo du negative Ergebnisse zu erwarten und daher das Vorzeichen ändern musst. Gruß R |
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Hallo, "Im Falle gegebenen Flächenberechnungen heißt das also "nie über die Nullstellen des Integranden hinwegintegrieren!". Immer alle Nullstellen berechnen, der Größe nach ordnen, dann einzeln von einer zur nächsten intgerieren, von jedem Einzelergebnius den Betrag nehmen und dann alles addieren." Tut mir Leid aber ich verstehe dennoch nicht wie ich darauf komme, die richtigen Intervallgrenzen einzusetzen und zu berechnen. Und natürlich muss man je nach Fall zwei oderr drei mal verschiedene Integralgrenzen in die Funktion einsetzen; nur woher weiß ich diese? Es wäre schön wenn ihr/du mir das an einer genauen Funktion aufschreiben und begründen würdet wieso ihr diese und jene Intervallgrenze gewählt habt etc. Ich bedanke mich recht herzlich im Voraus! MfG Ia |
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Kurzfassung: Die Integralgrenzen sind die Nullstellen der Funktion. Nehmen wir die Aufgabe c). Die Nullstellen sind -3, -1, +1, +3. Also müssten wir theoretisch drei Teilintegrale berechnen: von -3 bis -1, von -1 bis +1 und von +1 bis +3. Wenn dann irgendwo etwas Negatives rauskommt, Betrag drüber und dann alles addieren. Hier handelt es sich aber um einen biquadratischen Term, eine gerade Funktion. Diese ist axialsymmetrisch bezüglich der y-Achse. Daher ist es vernünftig, nur die rechte Hälfte zu berechnen und das Ergebnis zu verdoppelt. Man spart dadurch ein Integral und gewinnt einmal die Integralgrenze 0, was auch in der Regel eine Vereinfachung bedeutet. Daher wird nur von 0 bis 1 und dann von 1 bis 3 integriert, bei Bedarf Betrag, dann addiert und zum Schluss wegen der Symmetrie noch mit 2 multiplizieren. Die in der Musterlösung gewählte Schreibweise von für gehört meiner Meinung nach aber bestenfalls in die Unterstufe und hat hier wegen der Verwechslungsgefahr mit nichts verloren. Eigenartig, dass das hier trotzdem noch verwendet wurde. Gruß R |
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Hey, achso also muss/soll/wäre es gut(?) wenn ich von der niedrigsten nullstelle zur nächsthöheren nullstelle gehe, und das einfach für die restlichen nullstellen auch so mache. also dass es eine steigung der nullstellen wird. damit mein ich das, was du beschrieben hast. "Man spart dadurch ein Integral und gewinnt einmal die Integralgrenze was auch in der Regel eine Vereinfachung bedeutet." Ich versteh deine aussage mit der "...gesparten integralgrenze" nicht. also dass man das weiß, spart man sich doch die rechenarbeit mit den 2 intervallgrenzen, dh man macht sich etwas weniger arbeit? meinst du das damit Roman? und noch eine frage, weil es in deinem text darum geht: bei einer reinen, ungeraden fkt herrscht ja punktsymmetrie, hierbei kann man sich wie bei einer achsialsym. funktion aber nicht paar rechenwege sparen oder? der graph sieht ja ca so aus: www.gymbase.de/index/themeng11/ma/bilder/punktsymm2.png oder kann man das doch machen? das glaube ich so mal nicht, aber deshalb frage ich dich mal. :-) gute nacht! :-) ps: sorry habe keine lust, keine zeit auf groß/kleinschreibung zu achten, muss ins bett. |
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Hallo bei der pinktsymmetrischen funktion sind doch die Flächen links und rechts der Achse gleich groß, nur die eine nach unten, die andere nach oben. also muss man nur eines der integrale berechnen und dann verdoppeln. Gruß ledum |
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" "Man spart dadurch ein Integral und gewinnt einmal die Integralgrenze 0, was auch in der Regel eine Vereinfachung bedeutet." Ich versteh deine aussage mit der "...gesparten integralgrenze" nicht. also dass man das weiß, spart man sich doch die rechenarbeit mit den 2 intervallgrenzen, dh man macht sich etwas weniger arbeit? " Ich habe nicht geschrieben, dass man Integralgrenzen spart, obwohl man das vl auch so sehen könnte. Es war konkret auf Beispiel c) bezogen. Anstatt 3 Integrale auszuwerten muss man bei Ausnutzung der Symmetrie nur zwei auswerten. Das ist eine Arbeitsersparnis, ja. Außerdem hat man jetzt ein Integral, bei dem eine Grenze Null ist. Da freut man sich üblicherweise, da Funktionen an der Stelle Null meist recht einfach auszuwerten sind - wieder eine Arbeitsersparnis. Dass man die Punktsymmetrie bzgl des Ursprungs bei ungeraden Funktionen auf genau die gleiche Art und Weise ausnutzen kann, hat dir ledum ja schon geschrieben. Ungerade Funktionen haben ja an der Stelle Null entweder eine Unstetigkeitsstelle oder eine Nullstelle. Man spart sich also nur die Anzahl der Teilintegrale - die reduziert sich dafür hier auf die Hälfte. Gruß R |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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