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Richtige Rechnung mit dem Summenzeichen?

Schüler Gesamtschule,

Tags: Integration, numerisch, Summenzeichen

PlimPlam aktiv_icon

20:02 Uhr, 21.02.2012

Hallöchen an alle,
um es kurz zu machen, es geht um numerische Integration.
Es wird der Flächeninhalt der Gauß'schen Glocke von

x = 0

bis

x = 1,5

mit der Trapezregel ausgerechnet und

n = 10

gesetzt.
Hier ist der Term:

(\frac{f (0) + f (1,5)}{2} + \sum_{i = 1}^{10 - 1} e^{- x_{i}^{2}}) \cdot \frac{0 - 1,5}{10} = 0,141

FE

Eigentlich sollte ja durch einfügen mehrerer Trapeze dass Ergebniss genauer werden, also diesem Ergebniss ähneln, aber das Ergebniss bei

n = 30

ist

0,047

und das scheint falsch zu sein, wo liegt der Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

20:22 Uhr, 21.02.2012

Hallo,

Dein Ergebnis für

10

ist auch schon falsch. Für

n = 10

bekomme ich

0,855596

heraus. Wie Du da auf

0,141

kommst kann ich Dir nicht sagen, da müsstest Du Deine Rechenschritte hier mal darlegen. In der Formel für

10

muß der Faktor

\frac{1,5 - 0}{10}

heißen (das ist aber nicht das Problem), ansonsten ist dir Formel für

10

richtig.

Viele Grüße
Yokozuna

PlimPlam aktiv_icon

21:02 Uhr, 21.02.2012

Den Fehler habe ich auch eben bemerkt danke, aber es ist doch richtig dass man die Menge der Trapeze durch einsetzen einer bestimmten Zahl für

n

bestimmen kann, sowohl im Summenzeichen als auch im Bruch nach der Klammer, oder?

Übrigens, ist das normal dass der ursprüngliche Term so komisch zu lesen ist und überhaupt keine Ähnlichkeit mit dem Beispiel in der Fragenbearbeitung hat?
(Ich bin neu hier)

MfG
René

Yokozuna aktiv_icon

21:21 Uhr, 21.02.2012

Ja, mit dem

n

in der Summe und in dem Bruch nach der Klammer kann man die Anzahl der Trapeze festlegen. Hast Du die

x_{i}

richtig berechnet und eingesetzt? Ich schreibe mal ein paar Summanden hin, damit Du vergleichen kannst:

(\frac{f (0) + f (1,5)}{2} + \sum_{i = 1}^{10 - 1} e^{- x_{i}^{2}}) \cdot \frac{1,5 - 0}{10} =

(\frac{e^{0} + e^{- {1,5}^{2}}}{2} + e^{- {0,15}^{2}} + e^{- {0,30}^{2}} + e^{- {0,45}^{2}} + . .

) \cdot 0,15 =

\frac{(1,0 + 0,1054)}{2} + 0,9778 + 0,9139 + 0,8167 + . .

) \cdot 0,15 =

Welchen Term meinst Du denn, der komisch zu lesen ist? Für mich sieht alles ok aus.

Viele Grüße
Yokozuna

PlimPlam aktiv_icon

21:37 Uhr, 21.02.2012

Es stimmt alles, jedoch bekomme ich trotzdem kleinere Ergebnisse als gedacht.
Ist es gewöhnlich dass es so eine Abweichung gibt.
Also ist dass normal bei den Approximationen? Scheint mir einfach zu ungewöhnlich zu sein.
Jetzt beispielsweise wenn

n = 3, 5

und

10

ist, kommen einfach immer kleinere Ergebnisse!

Yokozuna aktiv_icon

21:58 Uhr, 21.02.2012

Also irgendwo verrechnest Du Dich offensichtlich. Ich habe das mal mit

n = 3, 5, 10

und

30

gerechnet und bekomme folgende Ergebnisse (meine Ergebnisse werden immer etwas größer):

n = 3 \to 0,8497

n = 5 \to 0,8538

n = 10 \to 0,8556

n = 30 \to 0,8561

Die Änderungen im Endergebnis werden mit zunehmenden

n

immer geringer, genau so, wie es sein muß.
Gib mal Deine Rechnung

z . B

. für

n = 3

hier mit allen Zwischenschritten wieder, damit wir herausfinden, wo etwas schiefläuft.

Viele Grüße
Yokozuna

PlimPlam aktiv_icon

23:41 Uhr, 21.02.2012

Mal sehen ob der Fehler gefunden wird, vorerst muss ich dir schonmal für deine außerordentliche Hilfe Danken Yokozuna!

n = 3 \to 0,4694473462

Rechnung:

(\frac{e^{0} + e^{2,25}}{2} + e^{- 1} + e^{- 4}) \cdot \frac{1,5}{3}

Da das Summenzeichen die Grenzen

i = 1

bis

3 - 1

hat sind dass ja nur die 2 y-Werte, also das

e^{- 1}

und

e^{- 4}

n = 5 \to 0,2817054644

Rechnung:

(\frac{e^{0} + e^{2,25}}{2} + e^{- 1} + e^{- 4} + e^{- 9} + e^{- 16}) \cdot \frac{1,5}{5}

Genauso wie oben mit den Grenzen von

x = 0

bis

x = 1,5

berechnet aber anderer Wert

n = 10 \to 0,1408527322

n = 30 \to 0,04695091073

Hoffe dies erbringt den Fehlerfund!

MfG
René

PlimPlam aktiv_icon

23:44 Uhr, 21.02.2012

Hier die bessere Übersicht, was ich persönlich einfacher finde.

Yokozuna aktiv_icon

00:10 Uhr, 22.02.2012

Ich denke, ich weiß jetzt, was schiefläuft. Die

x_{i}

in der Summe sind nicht richtig. Du setzt

x_{i} = i,

aber wenn ich mal zur Abkürzung für die Schrittweite

h = \frac{1,5 - 0}{n}

schreibe, muß es richtig heißen:

x_{i} = i \cdot h

Für

n = 3

wäre

z . B

h = \frac{1,5 - 0}{3} = 0,5

und

x_{1} = 1 \cdot 0,5 = 0,5

und

x_{2} = 2 \cdot 0,5 = 1,0

. Damit erhält man:

(\frac{e^{0} + e^{- {1,5}^{2}}}{2} + e^{- {0,5}^{2}} + e^{- {1,0}^{2}}) \cdot 0,5 = (\frac{e^{0} + e^{- 2,25}}{2} + e^{- 0,25} + e^{- 1,0}) \cdot 0,5 =

(\frac{1,0 + 0,1054}{2} + 0,7788 + 0,3679) \cdot 0,5 = (0,5527 + 0,7788 + 0,3679) \cdot 0,5 = 0,8497

Versuche diese Rechnung mal nachzuvollziehen (bei

f (1,5)

hast Du immer

e^{2,25}

statt

e^{- 2,25}

geschrieben, aber offenbar richtig

e^{- 2,25}

gerechnet).

Für

n = 5

müsstest Du dann mit

h = \frac{1,5 - 0}{5} = 0,3

und

x_{1} = 1 \cdot 0,3 = 0,3, x_{2} = 2 \cdot 0,3 = 0,6, x_{3} = 3 \cdot 0,3 = 0,9

und

x_{4} = 4 \cdot 0,3 = 1,2

rechnen und für

n = 10

mit

h = \frac{1,5 - 0}{10} = 0,15

und

x_{1} = 1 \cdot 0,15 = 0,15, x_{2} = 2 \cdot 0,15 = 0,3, x_{3} = 3 \cdot 0,15 = 0,45

usw. Probiere das nochmal mit diesen Werten.

Viele Grüße
Yokozuna

PlimPlam aktiv_icon

00:56 Uhr, 22.02.2012

Jetzt klingts logisch! Immer diese Vorzeichenfehler in der Mathematik.. ich hab es auch immer mit

- 2,25

berechnet, jedoch nur nicht hingeschrieben.
Ich komme jetzt auch auf das Ergebniss dass du raus bekommst! Vielen Dank!
Aber da hätte ich nur noch eine letzte Frage, falls du dir die Zeit nehmen möchtest.

Wie schreibe ich den Laufindex zur Variable in den Taschenrechner wenn ich dies mit

30

Trapezen ausrechnen will?
Denn ausschreiben ist ja bei der Länge lästig und den Laufindex krieg ich nicht rein.

Ich danke dir vielmals dafür dass du dir die Zeit genommen hast!

MfG
René

Yokozuna aktiv_icon

09:13 Uhr, 22.02.2012

Wegen dem Taschenrechner kann ich Dir vermutlich nicht helfen, da ich Deinen Taschenrechner wahrscheinlich nicht kenne. Bei meinem GTR (ein HP

50 g)

kann ich einfach eingeben

\sum_{I = 1}^{29} e^{- (I \cdot 0,05)}

wobei

0,05 = \frac{1,5 - 0}{30}

die Schrittweite für

n = 30

ist.

Viele Grüße
Yokozuna

PlimPlam aktiv_icon

10:49 Uhr, 22.02.2012

Ok, diese Frage wird mir wohl mein Mathelehrer beantworten können.
Vielen Dank Yokozuna, hiermit ist die Frage beantwortet!

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