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Richtiges Anwenden von d/dx

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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19:32 Uhr, 14.10.2015

Ich soll einen Kommutator von zwei Operatoren bestimmen.
Dabei bin ich bis hierher gekommen (und wurde als richtig bestätigt):

[A, B] = \frac{d}{d x}

e^kx

\frac{d}{d x} -

e^kx

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}}

Nun möchte ich weiter vereinfachen und zwar so:

= k

e^kx

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}} -

e^kx

\frac{d^{2}}{{d x}^{2}}

Macht das so Sinn? Kann man das so machen und ist das dann das Ergebnis?
Oder geht es anders?
Tut mir Leid, ich bin laaange aus dem Thema und muss mich zügig wieder einarbeiten.

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19:44 Uhr, 14.10.2015

Nein, das ist falsch.

Du musst die Operatoren an Funktionen anwenden.

\frac{d}{d x} e^{k x} \frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} e^{k x} f^{ʹ} (x) = k e^{k x} f^{ʹ} (x) + e^{k x} f^{ʺ} (x)

.

Was natürlich nicht dasselbe ist wie

k e^{k x} \frac{d^{2}}{d x^{2}} f (x) = k e^{k x} f^{ʺ} (x)

wauwi aktiv_icon

19:55 Uhr, 14.10.2015

In der Übung ist nicht vom Anwenden auf Funktionen die Rede, das ist auch mein Problem, dann wäre es leicher. In den Vorlesungsmaterialien steht zum Beispiel sowas:

[A, B] = x \frac{d}{d x} - \frac{d}{d x} x = x \frac{d}{d x} - (x \frac{d}{d x} + 1) = - 1

Ich frage mich wie man Terme zwecks Vereinfachung von rechts nach links "durch den Operator zieht".

Im Falle meiner vorherigen Frage wäre es dann

\frac{d}{d x}

e^kx = e^kx

\frac{d}{d x} k

e^kx?
Also die eigentliche Funktion durchziehen und die abgeleitete Funktion rechts davon stehen lassen wie in den Materialien vorgegeben?

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20:00 Uhr, 14.10.2015

"Ich frage mich wie man Terme zwecks Vereinfachung von rechts nach links "durch den Operator zieht"."

Nur durch Anwendung auf Funktionen.
Das kannst Du mir glauben, ich habe Doktortitel genau in der Operatorentheorie. :-)

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20:03 Uhr, 14.10.2015

\frac{d}{d x} e^{k x} f (x) = k e^{k x} f (x) + e^{k x} f^{ʹ} (x)

\frac{d}{d x} e^{k x} = k e^{k x} + e^{k x} \frac{d}{d x}

wauwi aktiv_icon

20:08 Uhr, 14.10.2015

Könntest du mir dann erklären, wie die in den Unterlagen dargestellten Rechnungen zustande kommen? Ich verstehe nämlich den Rechenschritt nicht.

Und hier ist auch noch ein Beispiel:

(\frac{d}{d x} x) V (x) = (1 + x \frac{d}{d x}) V (x) =

xV'(x)+V(x)+xV(x)dx

Ich verstehe den ersten Rechenschritt nicht und beim zweiten verstehe ich ebenfalls nicht, woher der letzte Teil kommt.

Edit: Okay, das ist die Produktregel, richtig? Alles klar, ich denke ich verstehe langsam.

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20:13 Uhr, 14.10.2015

\frac{d}{d x} x (V (x)) = \frac{d}{d x} (x V (x)) = V (x) + x V^{ʹ} (x)

- das wieder mal nur die Produktregel, weil

\frac{d}{d x} x = 1

Und

V (x) + x V^{ʹ} (x)

ist natürlich nichts Anderes als

V (x) + x \frac{d}{d x} V (x)

.

Der zweite Rechenschritt stimmt nicht. Er ist sogar sinnlos, denn was bitte schön soll

x V (x) d x

überhaupt sein?

wauwi aktiv_icon

20:20 Uhr, 14.10.2015

Es steht genau so im Skript, ich denke ich werde dem Dozenten mal eine Mail schreiben.
Du hast mir sehr geholfen, vielen Dank!

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