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Richtungsableitung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Mathegnom aktiv_icon

18:59 Uhr, 25.06.2011

Ich weiß nicht, wie man eine Richtungsableitung berechnet. Die Aufgabe lautet:

Sei

f (x, y, z) = 2 x^{2} + 3 y^{2} + z

und

e = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1)

. Man berechne die Richtungsableitung

\frac{δ f}{δ e} (x, y, z)

. In welche Richtung muss man ableiten, damit die Richtungsableitung ein Minimum annimmt?

Wie gehe ich hier zunächst vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe-Steve aktiv_icon

19:22 Uhr, 25.06.2011

Hallo,

bilde zunächst den Gradienten von $f$ , also den Vektor der partiellen Ableitungen und multipliziere diesen dann mit dem Richtungsvektor, also $\frac{\partial f}{\partial \overset{⇀}{e}} (P) = g r a d_{f} (P) \circ \overset{⇀}{e}$ .

Für den zweiten Teil überlege Dir mal, wie groß die Richtungsableitung in Richtung $\overset{⇀}{e} = - \frac{1}{| g r a d_{f} (P) |} \cdot g r a d_{f} (P)$ wird.

Gruß

Stephan

Mathegnom aktiv_icon

16:23 Uhr, 26.06.2011

Der Gradient von

f

lautet:

grad (f)

= (4 x, 6 y, 1)

Multiplikation mit

e

ergibt:

(\begin{matrix} 4 x \\ 6 y \\ 1 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{4}{\sqrt{3}} x + \frac{6}{\sqrt{3}} y + \frac{1}{\sqrt{3}}

ist die Richtungsableitung korrekt?

Mathegnom aktiv_icon

16:23 Uhr, 26.06.2011

Der Gradient von

f

lautet:

grad (f)

= (4 x, 6 y, 1)

Multiplikation mit

e

ergibt:

(\begin{matrix} 4 x \\ 6 y \\ 1 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{4}{\sqrt{3}} x + \frac{6}{\sqrt{3}} y + \frac{1}{\sqrt{3}}

ist die Richtungsableitung korrekt?

Mathe-Steve aktiv_icon

16:27 Uhr, 26.06.2011

Sieht soweit gut aus.

Mathegnom aktiv_icon

16:40 Uhr, 26.06.2011

Wie kommst du bei dem zweiten Teil auf diese Formel?

Bei mir wäre es dann:

e = - \frac{1}{\sqrt{\frac{16}{3} x + \frac{36}{3} y + \frac{1}{3}}} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} x + \frac{6}{\sqrt{3}} y + \frac{1}{\sqrt{3}}

= - \frac{4 x + 6 y + 1}{\sqrt{16 x + 36 y + 1}}

Mathe-Steve aktiv_icon

16:56 Uhr, 26.06.2011

Es gilt doch $\overset{⇀}{a} \circ \overset{⇀}{b} = a \cdot b \cdot \cos φ$ , wobei in unserem Fall $\overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{e}$ mit b=e=1 gelten muss (weil es eine Richtung ist).

Nun ist $\overset{⇀}{a} \circ \overset{⇀}{b} = a \cdot b \cdot \cos φ$ am kleinsten, wenn $\cos φ = - 1$ gilt, also bei $φ = 180 °$ .

Wir brauchen also einen Vektor der Länge 1, der dem Gradienten genau entgegengesetzt ist und das ist nun einmal $\overset{⇀}{e} = - \frac{1}{| g r a d_{f} |} \cdot g r a d_{f}$ .

Insgesamt ist dann die Richtungsableitung $g r a d_{f} \circ (- \frac{1}{| g r a d_{f} |} \cdot g r a d_{f}) = - \frac{1}{| g r a d_{f} |} \cdot g r a d_{f} \circ g r a d_{f} = = - \frac{1}{| g r a d_{f} |} \cdot {| g r a d_{f} |}^{2} = - | g r a d_{f} | = - \sqrt{16 x^{2} + 25 y^{2} + 1}$

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