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Richtungsableitung Determinante

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

erstii

17:57 Uhr, 22.01.2018

Hallo,

ich kann in der folgenden Aufgabe meinen Fehler einfach nicht finden..

Zur Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung

det : ℝ^{n, n} \to ℝ, A \mapsto det (A)

Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung der Determinanten im Punkt I_n in Richtung A genau der Spur von A entspricht,

d . h

. dass gilt

D_{A}

det(I_n) = spur(A)

Ich wollte die Aufgabe mit dieser Eigenschaft vom charakteristischen Polynom lösen.
Wurde mal in der linearen Algebra bewiesen.

P_{A} (t) = t^{n} - α_{n - 1} \cdot t^{n - 1} + . .

+ {(- 1)}^{n - 1} \cdot α_{1} \cdot t + {(- 1)}^{n} \cdot α_{0}

mit

α_{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i}

und

α_{0} = det (A)

Dann ist

D_{A}

det(I_n)

= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot

(det(I_n

- (- h) \cdot A) -

det(I_n) )

= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot (P_{- h \cdot A} (1) - 1)

= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot (1 + h \cdot \sum_{i = 1}^{n} a_{i, i} + . .

+ {(- 1)}^{n - 1} \cdot (- h) \cdot \sum_{i = 1}^{2} a_{i, i} + {(- 1)}^{n} \cdot {(- h)}^{n} \cdot det (A) - 1)

Dann geht

{(- h)}^{n} \cdot det (A) \to 0

für

h \to 0

und

n \geq 2

.

Der Rest bleibt komischerweise dort, weshalb ich nicht auf die Spur als Ergebnis komme.

Hier nochmal am Beispiel

n = 3,

damit es etwas übersichtlicher ist.

Dann ist

D_{A}

det(I_3)

= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot (P_{- h \cdot A} (1) - 1)

= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot (1^{3} - \sum_{i = 1}^{3} (- h) \cdot a_{i, i} + {(- 1)}^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{2} (- h) \cdot a_{i, i} + {(- 1)}^{n} \cdot det (- h \cdot A) - 1)

= lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot (h (a_{1,1} + a_{2,2} + a_{3,3}) - h (a_{1,1} + a_{2,2}) + h^{3} \cdot det (A)

= a_{3,3}

Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:59 Uhr, 22.01.2018

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/relativity/node184.html

erstii

18:58 Uhr, 22.01.2018

Danke, aber für den Link fehlt mir zu viel Vorwissen.. uns wurde auch empfohlen die Aufgabe mit dem char. Polynom zu lösen.

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19:39 Uhr, 22.01.2018

Per Definition musst Du nur zeigen, dass

\det (I_{n} + A t) - \det (I_{n}) = s p u r (A) t + o (t)

gilt.
Dabei ist

\det (I_{n})

einfach

1

und

\det (I_{n} + t A)

ist

(\frac{1}{t})^{n} \det (A + \frac{I_{n}}{t})

.
Jetzt ist

\det (A + \frac{I_{n}}{t})

das charakteristische Polynom von

A

im Punkt

1 / t

, und der hat bekanntlich die Form

(1 / t)^{n} + s p u r (A) (1 / t)^{n - 1} + (1 / t)^{n - 2} R e s t

.
Damit gilt

\det (I_{n} + t A) = 1 + s p u r (A) t + t^{2} R e s t

und

t^{2} R e s t = o (t)

. Das ist alles.

erstii

20:10 Uhr, 22.01.2018

Wie kommst du denn, direkt in der ersten Zeile, auf das

o (t)

?

Wäre das nicht dort, hättest du ja den Differenzenquotienten umgeformt.

Also

\frac{1}{t} \cdot (det (

I_n

+ A \cdot t) - det (

I_n

)) =

spur(A)

\Leftrightarrow det (

I_n

+ A \cdot t) - det (

I_n

) =

spur(A)

t

Aber aus welcher Definition kommt das

o (t)

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20:14 Uhr, 22.01.2018

"Wie kommst du denn, direkt in der ersten Zeile, auf das ?"

Das ist eine von vielen äquivalenten Definitionen für Ableitung.
Kuck z.B. hier: www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node151.html

Du kannst auch andere Definition nutzen, die Herleitung wird im Grunde dieselbe bleiben.

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20:15 Uhr, 22.01.2018

"Also"

So stimmt es natürlich nicht, wenn Du die "Restterme" einfach fallen lässt.

erstii

20:20 Uhr, 22.01.2018

Ich versuche das mal mit unserer Definition umzusetzen.

Vielen Dank soweit!

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