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Richtungsableitung einer Jacobimatrix

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Richtungsableitung

anastasy aktiv_icon

09:57 Uhr, 20.05.2010

$R^{2}$ $\to$ $R^{2}$

y,x $\mapsto (\sqrt{3} x^{2} + \cos (4 x - 2 y))$

$(\sqrt{3} y^{2} + \sin (3 x + 5 y))$

(Der Formeleditor fkt leider nicht so richtig,es heißt (sqrt3)xhoch2 bzw (sqrt3)xhoch2)
Begründen Sie, dass $f$ differenzierbar ist und berechnen Sie die Richtungsableitung von $f$ in Richtung
$n = {(1, 1)}^{T}$ im Punkt x= ${(π / 4, π / 4)}^{T}$

Die Jacobi-Matrix habe ich schon. Wie mache ich jetzt weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

johannes2010 aktiv_icon

11:01 Uhr, 20.05.2010

Richtungsableitung von

f

in Richtung

n

g = J n

Jacobi

J

mal

n

anastasy aktiv_icon

11:19 Uhr, 20.05.2010

Und dann setze ich x anschließend ein?

Ist g eine beliebige Notation von dir oder hat das eine spezielle Bedeutung?

LG Anastasia

johannes2010 aktiv_icon

11:20 Uhr, 20.05.2010

Beliebig. Kannst

x

auch schon davor einsetzen

anastasy aktiv_icon

13:12 Uhr, 20.05.2010

Um die Jacobimatrix bilden zu dürfen, muss

f

ja erstmal differenzierbar sein, also es muss an jeder Stelle

x, y

einen Grenzwert geben(die Ableitung). Wir zeige ich das formal für meine Abbildung?

johannes2010 aktiv_icon

13:55 Uhr, 20.05.2010

Hier ist es eigentlich klar, da die Komposition aus diffb. Funktionen auch wieder diffb. ist.

Aber du kannst es auch selber zeigen (Diffb. in eine Richtung):

z.B.

lim_{x \to x_{0}} \frac{f_{1} (x, y) - f_{1} (x_{0}, y)}{x - x_{0}} = lim_{h \to 0} \frac{f_{1} (x_{0} + h, y) - f_{1} (x_{0}, y)}{h}

= lim_{h \to 0} \sqrt{3} \frac{x_{0}^{2} + 2 h x_{0} + h^{2} - x_{0}^{2}}{h} + \frac{\cos (4 x_{0} - 2 y + 4 h) - \cos (4 x_{0} - 2 y)}{h}

= lim_{h \to 0} \sqrt{3} \frac{2 x_{0} + h}{1} + \frac{\cos (4 x_{0} - 2 y) \cos (4 h) + \sin (4 x_{0} - 2 y) \sin (4 h) - \cos (4 x_{0} - 2 y)}{h}

= 2 \sqrt{3} x_{0} + lim_{h \to 0} \frac{\cos (4 x_{0} - 2 y) [\cos (4 h) - 1] + \sin (4 x_{0} - 2 y) \sin (4 h)}{h} = 2 \sqrt{3} x_{0} + 4 \sin (4 x_{0} - 2 y)

lim_{h \to 0} \frac{\cos (4 x_{0} - 2 y) [\cos (4 h) - 1]}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\cos (4 x_{0} - 2 y) [- \sin (4 h) - 0]}{1} = 0

lim_{h \to 0} \frac{\sin (4 x_{0} - 2 y) \sin (4 h)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\sin (4 x_{0} - 2 y) 4 \cos (4 h)}{1} = 4 \sin (4 x_{0} - 2 y)

sowas schimpft sich dann partielle Ableitung. Existiert für alle

x

und

y \to

Diffbar

anastasy aktiv_icon

14:17 Uhr, 20.05.2010

vielen dank!

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