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Richtungsableitung warum ||v||=1?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Salasah aktiv_icon

02:55 Uhr, 15.11.2016

Hallo, mir ist die Theorie hinter Richtungsableitungen völlig klar.
Wenn ich die Richtungsableitung von einer Funktion

f : D \subseteq R^{2} \to R

an der Stelle

x \in D

in Richtung

v \in D

bestimmen möchte, muss ich ja einfach den Grenzwert

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h \cdot v) - f (x)}{h}

bestimmen.

Oder aber auch

\nabla f \cdot v . .

.

In der Literatur muss der Vektor normiert sein, ich frage mich warum?
Wenn Vektoren

v

zwar in die gleiche Richtung aber unterschiedlich lang sind, erhalte ich doch einen um den Faktor

| | v | |

verschiedenen Wert des Grenzwerts.

Die Richtungsableitung gibt mir doch quasi die Steigung der Tangente in dem Punkt in richtung

v

an oder?

HilbertRaum aktiv_icon

08:18 Uhr, 15.11.2016

Δ x = h v

\Rightarrow f (x + h v) - f (x) = h f ʹ (x) v + o (h v)

wegen Linearität des Diff.Op.

\Rightarrow

für

h \to 0

f ʹ (x) v = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h v) - f (x)}{h}

Nun nennt man

\frac{\partial f}{\partial v} (x) := f ʹ (x) v

die R.-Ableitung., wenn ||v||=1, deren Betrag dann gerade erwartungsgemäß ||f'(x)|| ist.

pwmeyer aktiv_icon

09:22 Uhr, 15.11.2016

Hallo,

mit der Richtungsableitung soll eine charakeristische Eigenschaft der Funktion von in einem Punkt angegeben werden: In welche Richtung steigen / fallen die Funktionswerte stark / weniger stark. Damit man diese Werte für verschieden Richtungen vergleichen kann, normiert man die Länge von

v

auf 1.

Gruß pwm

Salasah aktiv_icon

15:54 Uhr, 15.11.2016

Hi, danke für die Antwort.
Ich hab mir das jetzt so klar gemacht.

f : U \subseteq R^{2} \to R

Sei

a \in U

und

v \in U

. Definiere

g := a + t \cdot v, t \in R

.
Dann interessiere ich mich ja für

lim_{t \to 0} \frac{f (a + t \cdot v) - f (a)}{| | t | | \cdot | | v | |} = lim_{t \to 0} \frac{f (a + t \cdot v) - f (a)}{| | (a + t \cdot v) - a | |}

Das heißt ja quasi, dass ich wenn ich mir irgendeine Richtung

v

angucke und den Grenzwert bestimme, ich diesen normieren muss um die geometrische Steigung wie im

1 - dim

zu erhalten.

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