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Richtungsableitungen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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18:26 Uhr, 29.05.2023

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe:
"Hinweis: Nutzen Sie für die folgende Aufgabe das folgende Theorem:
Theorem:
Sei

U \subseteq ℝ^{n}

offen, sei

f : U \to ℝ

stetig. Dann sind äquivalent:
1.

f

ist stetig differenzierbar
2. Für jedes

u \in U

und jedes

i = 1, . . ., n

existiert

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (u) = lim_{t \to 0} \frac{f (u + t e_{i}) - f (u)}{t}

und die Funktion

\frac{\partial f}{\partial x_{i}}

ist stetig auf

U

.

Aufgabe:
Sei

f : ℝ^{2} \to ℝ

gegeben durch

f (0) = 0

und

f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0, 0)

Zeigen Sie:

f

ist stetig und in jedem Punkt

(x, y) \in ℝ^{2}

existieren sämtliche Richtungsableitungen von

f

und berechnen Sie diese, aber

f

ist im Punkt 0 nicht differenzierbar."

Meine Ideen:
Ich habe gezeigt, dass f stetig ist. Das mit den Richtungsableitungen bekomme ich vermutlich auch hin, allerdings verstehe ich nicht wie ich den letzten Teil der Aufgabe zeigen soll. Wenn doch alle Richtungsableitungen in jedem Punkt, also insbesondere auch 0, existieren, dann existieren doch auch in 0 alle partiellen Ableitungen (so wie ich es verstehe sind partielle Ableitungen jene Richtungsableitungen entlang der Einheitsbasisvektoren) und nach dem obigen Theorem müsste damit

f

auch in 0 differenzierbar sein. Was verstehe ich falsch?

Vielen Dank und liebe Grüße! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."