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Richtungsableitungen differenzierbar?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

babene aktiv_icon

20:19 Uhr, 14.01.2023

Widerlege oder Zeige:
Es sei Ω ⊆ Rn und

v

∈ Ω ein innerer Punkt von Ω. Es sei

f :

Ω −→ R.

- - -

Wenn

f

"in

v

in alle Richtungen differenzierbar ist, dann ist

f

differenzierbar in

v

.

Hallo, ich wollte fragen wie ich an so eine Aufgabe herangehe, leider kann ich nicht ganz nachvollziehen was mit in alle Richtungen differenzierbar gemeint ist. Es wäre sehr nett wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Punov aktiv_icon

21:51 Uhr, 14.01.2023

Hallo, babene!

"In alle Richtungen differenzierbar" bedeutet in deinem Fall, daß für jedes

x \in ℝ^{n}

die zugehörige Richtungsableitung

\partial_{x} f (v)

v

existiert.

Die Existenz aller Richtungsableitungen impliziert nicht die Differenzierbarkeit der Funktion. Ein typisches Beispiel hierfür ist die Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

mit

f (0, 0) = 0

und

f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0, 0)

.

Viele Grüße

babene aktiv_icon

22:47 Uhr, 14.01.2023

Hallo könntest du vielleicht mir bitte zeigen wie ich die differenzierbarkeit in alle Richtungen zeige und dann auch die nicht differenzierbarkeit der Funktion?
Tut mir leid wenn ich nach viel Frage, aber seitdem wir die Mehrdimensionale Analysis haben
komme ich nicht wirklich mit.
MfG!

Punov aktiv_icon

11:07 Uhr, 15.01.2023

Hallo!

Im Punkt

v = (0, 0)

existieren in alle Richtungen

r = (r_{1}, r_{2})

die Richtungsableitungen, da

\partial_{r} f (0, 0) = lim_{t \to 0} \frac{f (t r_{1}, t r_{2}) - f (0, 0)}{t} = f (r_{1}, r_{2})

.

Wenn du speziell die partiellen Ableitungen

\partial_{i} f (0, 0), i = 1, 2

, betrachtest, also

\partial_{r} f (0, 0)

mit

r = (1, 0)

und

r = (0, 1)

, so sind diese

0

, d.h. als Differential in

v = (0, 0)

kommt nur die lineare Abbildung

L : ℝ^{2} \to ℝ, L r = \sum_{i = 1}^{2} \partial_{i} f (v) r_{i} = 0

in Frage. Für diese ist aber die Bedingung

lim_{h \to 0} \frac{f (v + h) - f (v) - L h}{∥ h ∥} = 0

nicht erfüllt, denn für alle

(r_{1}, r_{1}) \neq 0

gilt

\frac{f (r_{1}, r_{1}) - f (0, 0) - L (r_{1}, r_{1})}{∥ (r_{1}, r_{1}) ∥_{\infty}} = \frac{r_{1}^{3}}{2 r_{1}^{2} ∣ r_{1} ∣} = \pm \frac{1}{2} .

Somit ist

f

im Nullpunkt nicht differenzierbar, obwohl alle Richtungsableitungen (und insbesondere alle partiellen Ableitungen) existieren.

Dies ist, wie gesagt, ein typisches Beispiel, das immer wieder genannt wird und vermutlich in jedem Analysisbuch zu finden ist (z.B. im Königsberger, "Analysis 2").

Viele Grüße

babene aktiv_icon

13:35 Uhr, 15.01.2023

∂rf(0,0)=limt→0 (f(tr1,tr2)−f(0,0))/t=f(r1,r2).

Hallo, darf ich fragen warum diese Gleichung gilt? Und warum die zeigt das alle Richtungsableitungen in

(0,0)

exestieren?

Punov aktiv_icon

13:50 Uhr, 15.01.2023

Hallo,

da

f (t r_{1}, t r_{2}) = t f (r_{1}, r_{2})

und

f (0, 0) = 0

folgt

lim_{t \to 0} \frac{f (t r_{1}, t r_{2}) - f (0, 0)}{t} = lim_{t \to 0} \frac{t f (r_{1}, r_{2})}{t} = lim_{t \to 0} f (r_{1}, r_{2}) = f (r_{1}, r_{2})

.

Somit existiert also der Grenzwert und somit die Richtungsableitung in

(0, 0)

in Richtung

r = (r_{1}, r_{2})

. Da

(r_{1}, r_{2})

beliebig ist, existieren also alle Richtungsableitungen im Nullpunkt.

Viele Grüße

babene aktiv_icon

14:12 Uhr, 15.01.2023

Achso danke verstehe, aber verstehe ich das auch richtig das

L

immer auf 0 abbildet?
Falls ja, warum nehmen wir genau die?
Tut mir leid wenn ich so viel frage.

Vielen Dank im Voraus!

babene aktiv_icon

14:12 Uhr, 15.01.2023

Achso danke verstehe, aber verstehe ich das auch richtig das

L

immer auf 0 abbildet?
Falls ja, warum nehmen wir genau die?
Tut mir leid wenn ich so viel frage.

Vielen Dank im Voraus!

Punov aktiv_icon

14:23 Uhr, 15.01.2023

Hallo,

wenn du für eine Funktion

f : ℝ^{n} \to ℝ

überprüfen möchtest, ob sie in

v

differenzierbar ist, schaust du zuerst, ob sie partiell differenzierbar ist. Falls ja, prüfst du, ob die einzige als Differential in Frage kommende lineare Abbildung

L : ℝ^{n} \to ℝ, L h = \sum_{i = 1}^{n} \partial_{i} f (v) \cdot h_{i}

die Bedingung

lim_{h \to 0} \frac{f (v + h) - f (v) - L h}{∥ h ∥} = 0

erfüllt.

In unserem Gegenbeispiel haben wir gezeigt, daß die Funktion in

v = (0, 0)

in alle Richtungen differenzierbar ist (also insbesondere, daß sie partiell differenzierbar ist) und daß die partiellen Ableitungen null sind,

\partial_{1} f (0, 0) = \partial_{2} f (0, 0) = 0

. Somit käme als Differential in

(0, 0)

höchstens die lineare Abbildung

L : ℝ^{2} \to ℝ, L h = \partial_{1} f (0, 0) \cdot h_{1} + \partial_{2} f (0, 0) \cdot h_{2} = 0

in Frage. Jedoch erfüllt diese Abbildung die obige Bedingung nicht und daher ist die Funktion

f

(0, 0)

nicht differenzierbar.

Viele Grüße

babene aktiv_icon

15:39 Uhr, 15.01.2023

Hallo

danke für die ganzen Antworten, ich habe die Hausaufgabe auch schon abgegeben, aber ich will das Thema halt besser verstehen.

Könntest du mir erklären wann man:

∂rf(0,0)=

lim

t→0 (f(tr1,tr2)−f(0,0))/t=f(r1,r2).

benutzt

und wann man

diese Differenzierbarkeit benutzt:

limh→0 (f(v+h)−f(v)−Lh)/∥h∥=0.

Weil uns wurde erklärt das man limh→0 (f(v+h)−f(v)−Lh)/∥h∥=0. benutzt im Mehrdimensionalem Raum
und du hast ∂rf(0,0)=

lim

t→0 (f(tr1,tr2)−f(0,0))/t=f(r1,r2) benutzt für das obere, was ich vom eindimensionalem kenne, obwohl die funktion ja vom

ℝ^{2}

ist.

Punov aktiv_icon

16:59 Uhr, 15.01.2023

Hallo,

das sind eben die unterschiedlichen Definitionen von Differential und Richtungsableitung.

1. Eine Funktion

f : U \to ℂ

auf einer offenen Menge

U \subset ℝ^{n}

heißt differenzierbar im Punkt

v \in U

, wenn es eine lineare Abbildung

L : ℝ^{n} \to ℂ

gibt derart, daß

lim_{h \to 0} \frac{f (v + h) - f (v) - L h}{∥ h ∥} = 0

.

2. Sei

f : U \to ℂ

eine Funktion in einer Umgebung

U

von

v

. Dann versteht man unter der Ableitung von

f

im Punkt

v

in Richtung des Vektors

h \in ℝ^{n}

im Existenzfall den Grenzwert

lim_{t \to 0} \frac{f (v + t h) - f (v)}{t}

.

Vielleicht hilft es, wenn man sich zum Beispiel für

n = 2

anschaulich klar macht, wie die Vektoren

v + t h, t \in ℝ

aussehen und was für

t \to 0

passiert.

Viele Grüße

Punov aktiv_icon

16:59 Uhr, 15.01.2023

Hallo,

das sind eben die unterschiedlichen Definitionen von Differential und Richtungsableitung.

1. Eine Funktion

f : U \to ℂ

auf einer offenen Menge

U \subset ℝ^{n}

heißt differenzierbar im Punkt

v \in U

, wenn es eine lineare Abbildung

L : ℝ^{n} \to ℂ

gibt derart, daß

lim_{h \to 0} \frac{f (v + h) - f (v) - L h}{∥ h ∥} = 0

.

2. Sei

f : U \to ℂ

eine Funktion in einer Umgebung

U

von

v

. Dann versteht man unter der Ableitung von

f

im Punkt

v

in Richtung des Vektors

h \in ℝ^{n}

im Existenzfall den Grenzwert

lim_{t \to 0} \frac{f (v + t h) - f (v)}{t}

.

Vielleicht hilft es, wenn man sich zum Beispiel für

n = 2

anschaulich klar macht, wie die Vektoren

v + t h, t \in ℝ

aussehen und was für

t \to 0

passiert.

Viele Grüße

babene aktiv_icon

00:12 Uhr, 16.01.2023

Also 1. verstehe ich, da es so definiert ist, aber 2. ist doch die differenzierbarkeit im eindimensionalen oder nicht, wie können wir dann 2. verwenden für die mehrdimensionale diffbarkeit?

Mit freundlichen Grüßen und danke!

Punov aktiv_icon

09:45 Uhr, 16.01.2023

Hallo,

mag sein, dass dich diese Definition an den Differenzenquotienten im Eindimensionalen erinnert, faktisch ist das aber schon was Anderes. Wir haben eine Funktion, die von mehreren Variablen abhängt und schauen uns die Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor gegebenen Richtung an.

Viele Grüße

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