 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Riemann-Integral-->Lebesgue-Integral
Riemann-Integral-->Lebesgue-Integral
Universität / Fachhochschule
Integration
Maßtheorie
Tags: erweitertereelleZahlen, Integration, Lebesgue, Maßtheorie, Riemann
 
|
  |
|---|
|
Hallo, ich habe folgende Aufgabe: erw (erweiterte reelle Zahlen), ( für ungleich unendlich) auf Messbarkeit und Integration prüfen. ist stetig, deshalb messbar.(Wobei Borelalgebra) Theoretisch ist ja Riemann-int., da sie stetig und beschränkt ist (wenn man erw betrachtet).... Wir haben das Riemann Integral aber nie für erw definiert... Deshalb weiß ich nicht, wie ich hier ansetzen soll. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
ist nicht beschränkt und nicht Riemann-integrierbar (nur uneigentlich). Aber was ist die Frage? |
 |
|
Aber wenn man als Wertebereich die erweiterten reellen Zahlen hat ist es doch beschränkt, oder? |
|
|
|
Achso, ich sehe jetzt was in meiner Frage fehlt!! Es geht um Lebesgue-Integrierbarkeit. Und wäre die Funktion Riemann-int., dann ja auch Lebesgue-int. , aber wenn nicht, dann weiß ich nicht, wie ich Lebesgue-Int.barkeit zeigen oder wiederlegen soll (das sollte die Frage sein). |
|
|
|
"Aber wenn man als Wertebereich die erweiterten reellen Zahlen hat ist es doch beschränkt, oder?" Nein, wieso denn? Beschränkt heißt immer für eine endliche Zahl und alle . Übrigens, Riemann-Integrierbarkeit ist sowieso nur für Funktionen mit "normalen" Werten definiert, erweiterte sind da nicht zugelassen. |
|
|
|
Du kannst z.B. den Satz über monotone Konvergenz nutzen. Oder direkt per Definition zeigen, was aber etwas schwieriger ist. |
|
|
|
Achso, ich dachte Beschränktheit heißt durch ein Element aus der Menge, in diesem Fall die erweiterten reellen Zahlen, beschränkt. Dann ist die Funktion integrierbar und das Integral beträgt oder? |
|
|
|
"Achso, ich dachte Beschränktheit heißt durch ein Element aus der Menge, in diesem Fall die erweiterten reellen Zahlen, beschränkt." Theoretisch kann man Beschränktheit aus so definieren, aber bei Riemann-Integrierbarkeit ist die "normale" Beschränktheit vorausgesetzt. "Dann ist die Funktion integrierbar und das Integral beträgt oder?" Das ist auf jeden Fall richtig, nur ist die Frage, wie man das begründet. |
|
|
|
Eine andere Möglichkeit ist, auf dieses Resultat zurückzugreifen: Wenn uneigentlich Riemann-integrierbar ist, ist Lebesgue-integrierbar. Falls Ihr das schon kennt. |
|
|
|
Wenn man den Satz der monotonen Konvergenz verwendet und als Folge die Funktionen Fk (Indikatorfunktion von mit gegen läuft die Folge gegen und die Fk sind Riemann-int. dann hat man von oder? Was ich noch nicht ganz begründen kann, ist folgendes: Ich definiere Fk (Indikatorfunktion von dann Fk da die Fk außerhalb dieses Def. bereichs 0 sind, aber das Integral so teilen Fk Fk Fk) dürfte ich doch nur , wenn ich wüsste, dass die Funktionen integrierbar sind, oder? |
|
|
|
Den Satz hatten wir leider noch nicht. |
|
|
|
Ja, aber ist doch sicher integrierbar, sogar nach Riemann, sie ist doch beschränkt und stetig, außer in einem Punkt. |
|
|
|
Oh ja, stimmt... Aber wieso außer in einem Punkt? Wäre dann nicht auch integrierbar? |
|
|
|
ist nicht beschränkt, daher nicht Riemann-integrierbar. Ich dachte, so weit waren wir schon. ist nicht überall stetig, konkret im Punkt nicht. Das ist aber egal, denn jede beschränkte und stetige, außer eventuell in endlich vielen Punkten, Funktion ist Riemann-integrierbar. |
 |
|
Ja , das stimmt.. Danke! |
1268511
1268144