Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Riemann-Integral bestimmen

Riemann-Integral bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Integration

Tags: Funktion, Integration

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

21:26 Uhr, 18.10.2019

Antworten
Hallo!

Ich muss unten folgende Funktion integrieren und stehe total auf dem Schlauch! Für Hilfe bin ich natürlich dankbar!

f:[0,1]

f(x)={1x=1n,n,n10,sonst

Bestimmen Sie 01f(x)dx.

Für Hilfe bin ich wie immer überaus dankbar!


Beste Grüße

Sony


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:47 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Hallo,
betrachte Zerlegungen von [0,1] zum Beispiel der folgenden Art:

Zn:x0=0,x1=1n,x2=1n+1n-1n3,,xk=1n+(k-1)n-1n3,,xn2+1=1n+n2n-1n3=1.

Schätze die Obersumme O(Zn) zu diesen Zerlegungen nach oben ab und zeige,
dass limnO(Zn)=0 ist.

Gruß ermnanus

SonyPB

SonyPB aktiv_icon

15:57 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich hatte überhaupt nicht daran gedacht, das Integral durch Ober- und Untersumme zu bestimmen. Mit limn komme ich nicht so ganz klar. Es müsste doch ausreichend sein, zu sagen, dass O(Zm)=0 für ausreichend verfeinerte Zerlegungen.


Beste Grüße

Sony





Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:00 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Nein, das klappt so nicht; denn egal, wie große m ist, so ist
O(Zm)>0 und nicht =0. Hast du denn die Obersumme mal
versucht zu bestimmen?
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

16:21 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Ich habe mir überlegt: O(Zm)=n=1m1n(n+1).

Beste Grüße

Sony
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:28 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Hallo,

meinst du n=1m...? Soll der Summationsindex n oder i heißen?

Gruß ermanus
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

16:31 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Ich habe ihn jetzt mit n bezeichnet.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:33 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Dann wäre O(Zm)=1-1m+11 für m.
Hältst du das für glaubhaft?
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

16:49 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Eigentlich hatte ich den Bildbereich f(xj) bis f(xj+1) mt Bj definiert und dann O(Zm)=j=1msup(Bj)(xj+1-xj) erhalten. Aber dann bekomme ich Probleme dabei, den Limes zu bilden.

Beste Grüße

Sony
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:25 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Ja, das ist ja auch fast richtig.
Nun ist unser sup ja nur 0 oder 1.
Meine Zerlegung beginnt mit x0 und endet bei xn2+1.
Wenn man hierfür die Obersumme ausschreibt,
bekommt man
supx(0,1n)f(x)(x1-x0)+supx(1n,1n+n-1n3)f(x)(x2-x1)++sup(1n+(n2-1)n-1n3,1)f(x)(xn2+1-xn2)=
=supx(0,1n)f(x)1n+supx(1n,1n+n-1n3)f(x)(n-1n3)++sup(1n+(n2-1)n-1n3,1)f(x)(n-1n3).

Von den Folgenglieder der Folge 1n, in denen f den Wert 1 annimmt
liegen alle ab n im Intervall [0,1n]. Daher fallen nur maximal
die n-1 Folgenglieder 1,12,,1n-1
in die Intervalle (1n+(i-1)n-1n3,1n+in-1n3).
d.h. nur auf n-1 dieser
Intervalle kann supf(x)=1 sein.
Die Obersumme ist daher
O(Zm)1n+(n-1)n-1n3=2n2-2n+1n3.
Das ist eine Nullfolge.
Gruß ermanus
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

17:46 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Vielen Dank für Deine Hilfe! Ich habe nur noch eine Frage: Wie kommst Du in der Zerlegung auf n-1n3?

Beste Grüße
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:48 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Tja, das ist mein kleines Geheimnis ;-)
Bin mal für ca. 1 Stunde weg, dann verrate ich es dir !
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:56 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Hallo,
nun lüfte ich das Geheimnis:

ich wollte das Intervall in zunächst zwei Teile teilen:
(0,1n) und (1n,1).
Das linke Intervall liefert den Betrag 1n
zur Obersumme.
Nun zerlege ich das rechte Intervall in n2 Teile wohl wissend,
dass nur die n-1 Zahlen 1,2n,,1n-1 einen Beitrag zur Obersumme
liefern können.
Wenn ich das Intervall (1n,1) in n2 Teile zerlege, ist die Breite der "Streifen"
1-1nn2=n-1n3.

Gruß ermanus
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

18:59 Uhr, 19.10.2019

Antworten
Vielen lieben Dank! Wenn man es liest, ist es ganz einfach, aber ich wäre wohl im Leben nicht darauf gekommen! Ich wünsche Die ein schönes Wochenende!

Beste Grüße
Frage beantwortet
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

19:14 Uhr, 19.10.2019

Antworten