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Riemann-Integrierbarkeit & uneigentliche Integrale

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Luna555 aktiv_icon

18:03 Uhr, 30.03.2009

Hallo, ich hab hier noch ein paar Probleme bei zwei Aufgaben, könnt ihr mir helfen?

1. Aufgabe: Ich soll folgende Funktion auf Riemann-Integrierbarkeit und die Existenz einer Stammfunktion untersuchen:

f : [- 1,1] \to R

mit

f (x) = 0

für

- 1 \leq x < 0

und

f (x) = 1

für

0 \leq x \leq 1

Wie geh ich hier vor?

2. Aufgabe: Wie beweise ich die Existenz des folgenden uneigentlichem Integrals?

\int_{0}^{\infty} \frac{ln (x)}{1 + x^{2}} d x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pepe1 aktiv_icon

22:28 Uhr, 30.03.2009

1 .)

Riemannsches Integrabilitätskriterium:

O (f, Z) - U (f, Z) = 0 < ε

für

| | Z | | \to 0

d . h

. Obersummen von

f

bei bel. Zerlegung - Untersummem von

f

bei bel. Zerlegung=0, also kleiner einem bel. vorgegebenem

ε > 0 -

dies gilt nämlich, da

f

auf den Teilintervallen konstant - für Feinheitsgrad ( Norm) der Zerlegung

\to 0

Auf

[

-1;1]existiert keine Stammfunktion, da F´(x)=f(x) auf dem gesamten Intervall

[

-1;1]nicht gelten kann.

f

kann

(z

. B. nach dem Darbouxschen Zwischenwertsatz ) nicht eine Ableitungsfunktion sein. Ableitungsfunktionen können keine Unstetigkeiten 1. Art (Sprungunstetigkeiten) wie

f

an der Stelle

x_{0} = 0

haben.
Jedoch auf Teilintervallen, die 0 nicht enthalten, existiert

F; z

B .

F : x \to 0

für

- 1 \leq x \leq 0

F : x \to x

für

0 \leq x \leq 1

Zusatz: Im Gegensatz zu einer Stammfunktion aber existiert zu

f

auf

[

-1,1]eine Integralfunktion, da

f

Riemann - integrierbar ist.

2 .)

\int_{0}^{\infty} \frac{ln (x)}{1 + x^{2}} d x

ist sowohl an Obergrenze als auch an Untergrenze uneigentlich.

\int_{0}^{\infty} \frac{ln (x)}{1 + x^{2}} d x = lim (x \to 0) \int_{x}^{1} \frac{ln (t)}{1 + t^{2}} d t + lim (x \to \infty) \int_{1}^{x} \frac{ln (t)}{1 + t^{2}} d t

Existenz bei

0 :

\int_{x}^{1} | \frac{ln (t)}{1 + t^{2}} | d t \leq \int_{x}^{1} | ln (t) | d t = - \int_{x}^{1} ln (t) d t = 1 +

x*lnx-x

\to 1,

für

x \to 0,

da nach l´Hospital

lim (x \to 0) \frac{ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim (x \to 0) \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

= - lim (x \to 0) x = 0

ist.
Existenz an Obergrenze:

\int_{1}^{x} \frac{ln (t)}{1 + t^{2}} d t \leq \int_{1}^{x} \frac{ln (t)}{t^{2}} d t = \int_{1}^{x} \frac{ln (t)}{t^{\frac{1}{2}}} \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t \leq \int_{1}^{x} K \cdot t^{- \frac{3}{2}} d t

für ein

K > 0, (

wegen

lim (t \to \infty) \frac{ln (t)}{t^{\frac{1}{2}}}

= lim (t \to \infty) \frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{2} \cdot t^{- \frac{1}{2}}} = 2 \cdot lim (t \to \infty) t^{- \frac{1}{2}} = 0

nach l´Hospital

),

somit existiert

lim (x \to \infty) \int_{1}^{x} \frac{ln (t)}{1 + t^{2}} d t,

lim (x \to \infty) \int_{1}^{x} t^{- g} d t

existiert für

g = \frac{3}{2} > 1

MfG

Luna555 aktiv_icon

12:18 Uhr, 01.04.2009

Vielen Dank für deine Hilfe, jetzt ist mir einiges klarer ;-)

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