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Riemann-int.bare, nicht stückweise stetige Funktio

Universität / Fachhochschule

Integration

Stetigkeit

Tags: Integration, Stetigkeit

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14:10 Uhr, 19.04.2015

Die Aufgabe lautet: "Geben Sie eine Riemann-integrierbare aber nicht stückweise stetige Funktion

f

an und führen Sie aus, warum

f

diese Eigenschaft hat!

Hinweis: Betrachten Sie etwa

[l] f : [0,1] \to R [/ l]

mit

f (t) = 1

auf

[l] [\frac{1}{2}, 1], f (t) = \frac{1}{2} [/ l]

auf

[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}), f (t) = \frac{1}{4}

auf

[\frac{1}{8,1} / 4)

usw. Bauen Sie zu jedem

ε > 0

eine Zerlegung von

[0,1],

sodass die Differenz von Ober- und Untersumme kleiner als

ε

wird."

Ich habe mir die Funktion schon aufgezeichnet und wie es aussieht. Meine erste Idee war,

0, \frac{1}{n}, ..., \frac{1}{16 - n}, \frac{1}{8 - n}, \frac{1}{4 - n}, \frac{1}{2 - n},

wobei

n \to 0

als Stützstellen zu nehmen, was aber anscheinend doch nicht funktionieren würde. Wie soll ich also diie Stützstellen wählen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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17:59 Uhr, 19.04.2015

Hilfe?

TierraT aktiv_icon

19:46 Uhr, 19.04.2015

Hilfe?

DrBoogie aktiv_icon

10:27 Uhr, 20.04.2015

Hier gibt's ein Beispiel:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=82389&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Furl%3Dhttp%3A%2F%2Fwww.matheplanet.com%2Fmatheplanet%2Fnuke%2Fhtml%2Fviewtopic.php%253Ftopic%253D82389%26rct%3Dj%26frm%3D1%26q%3D%26esrc%3Ds%26sa%3DU%26ei%3DGbg0VczQL5Taar7xgPAN%26ved%3D0CBQQFjAA%26usg%3DAFQjCNHzanQ_-2WoQyVBhDNA7rybrTbPqw

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10:59 Uhr, 20.04.2015

Danke, ich habs mir durchgelesen, aber ich glaube, dass das mit der Treppenfunktion hier nicht funktionieren würde.

Ich habe es jetzt so versucht:

Abstand zwischen 2 Stützstellen=1/2n
Stützstellen:

0, ..., \frac{1}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1

U (Z) = \sum_{j = 1}^{n (Z)} (ξ_{j} - ξ_{j - 1})

inf_

{

\in [ξ_{j - 1}, ξ_{j}]} f (t) = \sum_{j = 1}^{n (Z)} (ξ_{j - 1} - ξ_{j - 1}) = \sum_{j = 1}^{n (Z)} {(ξ_{j - 1})}^{2}

O (Z) = \sum_{j = 1}^{n (Z)} (ξ_{j - 1} \cdot ξ_{j})

Ist das ein richtiger Ansatz?

DrBoogie aktiv_icon

11:01 Uhr, 20.04.2015

Ich verstehe nicht, wie Deine Funktion aussieht.

Apfelkonsument aktiv_icon

11:42 Uhr, 20.04.2015

"Ich verstehe nicht, wie Deine Funktion aussieht. "

Ich verstehe es so:

f = 1_{[\frac{1}{2}, 1]} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} 1_{[\frac{1}{2^{n + 1}}, \frac{1}{2^{n}})}

1_{A}

wie üblich für die Indikatorfunktion von

A

.

Hoffe das hilft weiter.

DrBoogie aktiv_icon

11:47 Uhr, 20.04.2015

Diese Funktion ist natürlich Riemann-integrierbar,
nach dem Lebesgue-Kriterium:
"Eine Funktion ist nach dem Lebesgue'schen Kriterium für Riemann-Integrierbarkeit genau dann auf dem kompakten Intervall Riemann-integrierbar, falls sie auf dem Intervall beschränkt und fast überall stetig ist."
Es gibt nur abzählbar viele Punkte, in welchen Funktion unstetig ist, als fast überall stetig.

TierraT aktiv_icon

12:38 Uhr, 20.04.2015

Das Lebesgue-Kriterium haben wir leider noch nicht gelernt...

Aber ich glaube, ich habs jetzt gelöst...

Z = {(\frac{i}{2^{n}})}_{i = 0, ... {,2}^{n}}

O (Z_{n}) = \frac{1}{2^{n}} \cdot \sum_{i = 0}^{2^{n} - 1}

supremum_

{

\in [\frac{i}{2^{n}}, \frac{i - 1}{2^{n}}]} f (x)

U (Z_{n}) = \frac{1}{2^{n}} \cdot \sum_{i = 0}^{2^{n} - 1}

inf_

{

\in [\frac{1}{2^{n}}, \frac{n - 1}{2^{n}}]} f (x)

Und dann muss ich zeigen, dass

O (Z_{n}) - U (Z_{n}) = 0

O (Z_{n}) - U (Z_{n}) = \frac{1}{2^{N}} \cdot \sum_{i = 0}^{n} (\frac{1}{2^{i}} + \frac{1}{2^{n}})

Und dann müsste ich nur noch

n

gegen Unendlich gehen lassen.

Stimmt es jetzt?

DrBoogie aktiv_icon

13:14 Uhr, 20.04.2015

Ich glaube, Du hast Dich dabei etliche Male verschrieben. Prüfe bitte die Formeln.

Apfelkonsument aktiv_icon

13:51 Uhr, 20.04.2015

Hab gerade gesehen:

http//www.matheboard.de/thread.php?postid=1982704#post1982704

Ich weiß nicht, ob dem letzten Post da noch was hinzuzufügen ist. Nur damit sich hier nicht noch jemand die Mühe macht. Finde sowas ganz schön unhöflich.

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