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Riemann integral

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Integration

Tags: Integration

Ulrich1666 aktiv_icon

18:12 Uhr, 09.05.2021

Hallo,

ich verstehe den 2. Teil nicht so ganz. Also diesen Teil:

I_{a}^{b}

ist die kleinste obere Schranke fuer alle unteren Summen.
Also soll das gelten:

I_{a}^{b} (f) = s u p {L_{a}^{b} (f, P) ∣ P i s t P a r t i t i o n}

.
Meine Frage jetzt ist jetzt, wieso das so ist.

Vermutung: Sei

ε > 0

gegeben und

P

eine Partition von

[a, b]

mit

s i z e < δ

, dann gilt ja mit (*), dass fuer jede solcher Partition P

L_{b}^{a} (f, P) + ε > U_{a}^{b} (f, P) \geq I_{b}^{a} (f)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

19:41 Uhr, 09.05.2021

"Meine Frage jetzt ist jetzt, wieso das so ist."

Was das? Supremum ist die kleinste obere Schranke. Also was ist die Frage?

Ulrich1666 aktiv_icon

19:44 Uhr, 09.05.2021

Danke fuer deine Antwort.Wollte eigentlich nur wissen, ob meine Vermutung richtig ist

DrBoogie aktiv_icon

19:57 Uhr, 09.05.2021

Ach so, du willst wissen, warum

\int_{a}^{b} f (x) d x

Supremum von

L_{a}^{b}

und Infinum von

U_{a}^{b}

ist.
Das geht so:
da wir für alle Partitionen

U_{a}^{b} (P) \leq L_{a}^{b} (P)

haben, gilt natürlich

sup_{P} L_{a}^{b} (P) \leq inf_{P} U_{a}^{b} (P)

.
So, wenn jetzt

sup_{P} L_{a}^{b} (P) < inf_{P} U_{a}^{b} (P)

wäre, dann könnten wir

ε = (inf_{P} U_{a}^{b} (P) - sup_{P} L_{a}^{b} (P))

nehmen. Nach (*) muss eine Partition

P_{0}

existieren, so dass

U_{a}^{b} (P_{0}) - L_{a}^{b} (P_{0}) < ε

. Dann aber

inf_{P} U_{a}^{b} (P) - sup_{P} L_{a}^{b} (P) \leq U_{a}^{b} (P_{0}) - L_{a}^{b} (P_{0}) < ε = inf_{P} U_{a}^{b} (P) - sup_{P} L_{a}^{b} (P)

, was ein Widerspruch ist.
Also

sup_{P} L_{a}^{b} (P) < inf_{P} U_{a}^{b} (P)

kann nicht sein.

Ulrich1666 aktiv_icon

20:10 Uhr, 09.05.2021

Ich bin jetzt irgendwie total verwirrt. Die oberen Summen sind doch immer groesser als die unteren Summen.Sieht irgendwie vertauscht aus. Also ich verstehe da auch nicht, was Du da genau beweist.

DrBoogie aktiv_icon

20:33 Uhr, 09.05.2021

Ja, ich hab es vertauscht, mein Fehler.
Richtig ist

L_{a}^{b} (P) \leq U_{a}^{b} (P)

DrBoogie aktiv_icon

20:36 Uhr, 09.05.2021

"Also ich verstehe da auch nicht, was Du da genau beweist."

Ich beweise, dass

sup_{P} L_{a}^{b} (P) = inf_{P} U_{a}^{b} (P)

. Denn genau das wird im Theorem behauptet.

Ulrich1666 aktiv_icon

21:06 Uhr, 09.05.2021

Was ich noch net verstehe ist aber wieso das

\int_{a}^{b} f (x) d x

entspricht.

DrBoogie aktiv_icon

22:05 Uhr, 09.05.2021

Normalerweise wird Integral einfach als dieses Sup bzw. Inf definiert.
Wurde es anders definiert?

Ulrich1666 aktiv_icon

22:19 Uhr, 09.05.2021

Nee leider net. Das mit sup und inf bzgl Integrale wurde erstmalig in dem Satz erwaehnt.
Jedenfalls danke ich Dir sehr und wuensche Dir noch einen guten Abend vom restlichen Sonntag.

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