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Riemann-integrierbare Funktionen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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12:25 Uhr, 11.03.2011

Es sei f : [a; b] -> R eine Riemann-integrierbare Funktion.
Die Funktion g : [a, b]

\to

R entstehe, indem man an endlich vielen Stellen den Funktionswert von

f

abändert. Zeigen Sie, dass dann auch g Riemann-integrierbar ist und dass

\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} g

Beweis.

Soweit ich das Prinzip verstanden habe, muss ich die passen riemannsche Summe wählen und Zeigen , dass beide Grenzwerte gleich sind.

Also sei

∣ Z_{n} ∣ = \frac{b - a}{n}

x_{i} = \frac{i (b - a)}{n} + a

sei

M = {x_{r} = \frac{i (b - a)}{n} + a, r \in I}

die abgeänderten stellen.
Nun hängt alles von der Wahl der Zwischenpunkte,
also sei

ξ = f (x_{j}) ∣ x_{j} \in (x_{i}, x_{i - 1}), x_{j} \notin M

Dann erhalten wir

\int_{a}^{b} f = \sum_{i = 0}^{n} ξ * \frac{i}{n} = \int_{a}^{b} g

Kann Jemand helfen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

22:26 Uhr, 13.03.2011

Hallo,
wenn du noch nicht weisst das auch

g

Riemann-int'bar ist, dann kannst du bei der Riemann-Summe keine spezifische Zerlegung wählen. Es ist einfacher sich erst einen leichteren Fall anzuschauen,z.b.:

g (x) = f (x) \forall x \in (a, b], f (a) \neq g (a)

dann gilt natürlich:

\int_{[a + δ, b]} f = \int_{[a + δ, b]} g

Jetzt wird die Int'barkeit überprüft, mit der Standardzerlegung ( Bei Ober,- und Untersumme darf man die Zerlegung wählen, wenn möglich, siehe Def. ), also:

x_{k} = a + δ + \frac{k (b - a - δ)}{n} \Rightarrow x_{k} - x_{x - 1} = δ + \frac{b - a - δ}{n}

z.z.:

∣ lim_{δ \to 0} O (g, [a + δ, b]) - lim_{δ \to 0} U (g, [a + δ, b]) ∣ < ε

\sum_{k = 1}^{n} sup {g} (δ + \frac{b - a - δ}{n}) - \sum_{k = 1}^{n} inf {g} (δ + \frac{b - a - δ}{n}) = \sum_{k = 1}^{n} (sup {g} - inf {g}) (δ + \frac{b - a - δ}{n})

= δ \cdot \sum_{k = 1}^{n} (sup {g} - inf {g}) (\frac{b - a - δ}{n}) + \sum_{k = 1}^{n} (sup {g} - inf {g}) (\frac{b - a - δ}{n})

Es gilt:

∣ lim_{δ \to 0} δ \cdot \sum_{k = 1}^{n} (sup {g} - inf {g}) (\frac{b - a - δ}{n}) ∣ = 0

da gilt:

∣ \sum_{k = 1}^{n} (sup {g} - inf {g}) (\frac{b - a - δ}{n}) ∣ < ∣ \sum_{k = 1}^{n} (sup {g} - inf {g}) (\frac{b - a}{n}) ∣ = ∣ \sum_{k = 1}^{n} (sup {f} - inf {f}) (\frac{b - a - δ}{n}) ∣

also ist

g

int'bar. Wenn gilt:

f (a) > g (a)

dann betrachte:

\sum_{k = 1}^{n} (sup {f} - sup {g}) (\frac{b - a}{n}) = \sum_{k = 1}^{n} (sup {f} - sup {f}) (\frac{b - a}{n}) = 0

und, wenn gilt:

f (a) < g (a)

dann betrachte:

\sum_{k = 1}^{n} (inf {f} - inf {g}) (\frac{b - a}{n}) = \sum_{k = 1}^{n} (inf {f} - inf {f}) (\frac{b - a}{n}) = 0

also:

\int_{[a, b]} f = \int_{[a, b]} g

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22:37 Uhr, 13.03.2011

Danke für die nette Antwort , ich muss Ihnen leider mitteilen , dass ich ein Teil der Aufgabenstellung vergessen hab einzutragen.
Es sei

f : [a; b] \to R

eine Riemann-integrierbare Funktion.
Lg

Alx123 aktiv_icon

22:41 Uhr, 13.03.2011

Stand das nicht schon oben? Ist aber nicht schlimm, ich habe es sowieso vorausgesetzt.

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23:06 Uhr, 13.03.2011

ps "wenn du noch nicht weisst das auch g Riemann-int'bar ist, dann kannst du bei der Riemann-Summe keine spezifische Zerlegung wählen. Es ist einfacher sich erst einen leichteren Fall anzuschauen,z.b"

Wieso kann ich keine Spezifische Zerlegung wählen?
Es ist gilt doch

g : [a; b] \to R

Alx123 aktiv_icon

23:14 Uhr, 13.03.2011

Das liegt einfach an der Definition der Int'barkeit mit Riemann-Summen, das hat nichts mit dem Integrationsintervall zutun. Es müssen alle Zerlegungsfolgen

Z_{n}

, die gegen Null gehen, die gleiche Riemann-Summe ergeben, erst dann ist die Funktion

f

Riemann-int'bar.

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23:22 Uhr, 13.03.2011

Ja schon , ich meine , es hängt doch alles von der Wahl der Zwischenpunkte ab,
die Zerlegung kann eine beliebige Zerlegung von f sein und konvergiert somit gegen 0. Die Zwischenpunkte

f (ξ_{i})

sollen einen minimalen Abstand zu den einzelnen veränderten Funktionswerte haben.
Oder habe ich was missverstanden?

Alx123 aktiv_icon

23:27 Uhr, 13.03.2011

Das muss aber mit allen möglichen Zerlegungen funktionieren, nicht nur mit " einer " beliebigen. Wenn man schon weiss das die funktion Riemmann-int'bar ist und man nur den Grenzwert der Summe berechnen will, dann kann man eine bel. Zerlegung wählen, denn es würde ja jetzt für jede andere Zerlegung das gleiche rauskommen.

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23:31 Uhr, 13.03.2011

ja das gilt doch für eine beliebige Zerlegung,solange man die Zwischenpunkte passend wählt.

Alx123 aktiv_icon

23:35 Uhr, 13.03.2011

Die Wahl der Zwischenpunkte soll aber nicht von der Zerlegung abhängen. Es steht auch so in Wikipedia, unten.

http//de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral

Ausserdem sind ja Ober,- und Untersumme spezielle Riemannsummen, hier wurde also eine feste Zwischenpunktwahl getroffen und dies Definition ist ja äquivalent, da kann es ja nicht sein das wenn manche Zerlegungen nur mit speziellen Zwischenpunkten funktionieren man daraus auf die Int'barkeit schliessen kann.

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23:49 Uhr, 13.03.2011

Ja , aber du hast oben gezeigt , dass g integrierbar ist und somit existiert so eine Riemannssumme mit einer beliebigen Zerlegung und unabhängige Wahl der Zwischenpunkte.
Für mich würde dann die Fallunterscheidung keinen Sinn machen :(

Alx123 aktiv_icon

23:54 Uhr, 13.03.2011

Die Fallunterscheidung habe ich gemacht um zu zeigen das die Integrale gleich sind obwohl die Funktionen sich unterscheiden.

Warum aktiv_icon

23:59 Uhr, 13.03.2011

heißt das ich nicht so vorgehen kann , wie ich es oben gemacht haben , auch wenn ich die Integrierbarkeit der Funktion g gezeigt habe?

Alx123 aktiv_icon

00:04 Uhr, 14.03.2011

Wenn du schon weisst das

g

int'bar ist und nur noch die Summe berechnen willst, dann kannst du natürlich eine bel. Zerlegung und Zwischenpunkte wählen.

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00:06 Uhr, 14.03.2011

super danke

Lg

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