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Riemannintegral von sin(1/x)
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration, Riemann-Integral
 
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Hallo, Ich habe die Funktion gegeben. Jetzt würde mich interessieren ob diese Funktion auf dem Intervall mit beliebigem Riemann integrierbar ist. Meine Vermutung: Grundsätzlich gilt ja, dass jede auf einem beschränkten Intervall monoton steigende Funktion R-integrierbar ist, da die Funktion somit nur endlich viele Unstetigkeiten haben kann. Wir wissen, dass unstetig ist jedoch werde ich es nicht schaffen mein so klein wählen, sodass ich eine monotone Funktion auf einem Intervall mit einer linken Grenze 0 habe. Da ja gegen 0 immer stärker oszilliert Was meint ihr, liege ich da falsch? LG |
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. Ich kann mich noch gut erinnern als Übungsleiter in Mechanik 1 . Wir waren quasi eine " verschworene Gemeinschaft " ; die schrieben bei mir Funktionentheorie ab, und dafür machten die meine Programme im Fortranpraktikum. Und von mir bekamen sie dann den Schein . " Du musst schon entschuldigen; aber wir lernen hier nicht, weil wir uns für Physik intressieren, sondern nur um dich nicht zu enttäuschen. In der sollen wir untersuchen, ob integrierbar ist; für uns ist das viel wichtiger. " Am Bequemsten wäre, wenn du dir mal jenen Band zur Hand nimmst; " Sauer_Szabo " " Mathematik für Ingenieure " Denn da findest du doch recht übersichtlich alles Wissenswerte über das Lebesque_Integral. Und dort auch findest du den ( meiner Meinung nach ) ales entscheidenden Satz bewiesen. Jede stetige Funktion ist integrierbar; gilt auch die Umkehrung? Nur fast. Eine ( auf einem kompakten Intervall ) beschränkte Funktion ist dort R_integrierbar Sie ist fast überall stetig. " Jede abzählbare Punktmenge ist eine Nullmenge. " " Jede abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen ist selbst wieder abzählbar. " Aber so anspruchsvoll sind wir ja gar nicht; ist stetig bis auf einen einzigen Ausnahmepunkt stetig .ü. R_integrierbar. Ein gebüldeter Mathematiker müsste dieses Theorem eigentlich als " Strukturtheorem " werten und sagen " Mit diesem Theorem haben wir die Klasse der R_integrierbaren Funktionen verstanden. " Mit deiner Erlaubnis beabsichtige ich dir noch zwei Ergänzungen zu schicken; zur Zeit bin ich leider etwas übermüdet. |
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Vielen Dank für deine Antwort und ja ich würd mich über noch weitere Ergänzungen freuen :-) Jedoch was mir an der ganzen Sache nicht so einleuchtet, ist: Wie kann ich auf der Funktion ein Intervall wählen so dass in diesem Intervall stetig und monoton ist. Für gilt ja, dass ist und zeichnet sich wie wir wissen durch Vollständigkeit aus. Strebt also gegen 0 so oszilliert ja blöd ausgedrückt ins Unendliche. Wie soll man da dann noch ein in monotones finden LG |
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für wird es auch nicht stetig. Jedoch ist beispielsweise stetig wobei n fest aber beliebig. Somit ist dein Integral , wobei sich nun das zweite Integral abschätzen lässt. |
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tut mir leid da hab ich mich verschrieben ich meine selbstverständlich nur monoton |
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Hallo deine Idee dass eine Funktion monoton sein muss um integrierbar zu sein ist falsch, wenn sie stetig ist ist das hinreichend, und da sie auf stetig ist und da also integrierbar hat man nur noch das Intervall da schätzt man das Integrals durch ab. Gruß ledum |
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Alles klar! Man hat also lediglich geeignete Zerlegungen zu finden die man dann schlussendlich zusammensetzt. Und wie ich das jetzt verstanden habe ist die R-Integrierbarkeit auf durch: "Jede monotone Funktion ist R-integrierbar" und auf durch "Jede stetige Funktion ist R-integrierbar" gegeben Danke LG |
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Ich weiß nicht woher du dieses monoton hernimmst:-D), aber auf ist diese mit Sicherheit nicht monoton. Das einzig wichtige an dem Intervall ist lediglich, dass deine Funktion dort beschränkt ist und je größer dein n gewählt wird, desto kleiner wird dein abgeschätztes Integral. |
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Lieber Agricola; mit " Monotonie " gibst du mir genau jenes Stichwort, wozu ich nochwas sagen wollte. An sich sind Stetigkeit und Differenzierbarkeit Punkt weise definiert. Zwar muss eine Funktion in einer ganzen Umgebung von definiert sein, damit wir etwas über ihre Stetigkeit bzw. Ableitung im Punkt aussagen können. Aber Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden über jeden einzelnen Punkt ausgesagt. Und aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit - Punkt weise. Der Beweis hat im Wesentlichen damit zu tun, dass die Tangente eine sttige Funktion ist. Aber die Umkehrung gilt nicht. Es gibt sogar Funktionen, die auf ganz definiert und dort stetig sind, ohne auch nur in einem einzigen Punkt differenzierbar zu sein; ein ganz modernes Gegenbeispiel ging sogar durch die PC Zeitschrift: die Kochsche Schneeflockenkurve ( KSK ) ein Fraktal. Ich habe sogar in der Literatur einen Hinweis aufgeschnappt, woher diese irrige Erwartung kommt, eine stetige Funktion müsse differenzierbar sein. Hier wird nämlich Stetigkeit verwechselt mit Beschräktheit. Weil bei einer stetigen Funktion ist es ja theoretisch immer noch möglich, dass wenn sich um eine Plancklänge ändert, dann ändert sich um ein Lichtjahr. Bei der Determinante einer Matrix war dieses pathologische Verhalten schon lange geläufig; auch diese ist stetig. Aber da ist es ganz normal, wenn du ein Matrixelement um änderst, dass sich dann die Determinante ändert um den faktor Du weißt, dass wenn auf einem Intervall, dann ist die Funktion streng monoton wachsend. Jetzt wird man sagemn; ok. So bald eine Funktion streng monoton auf einem Intervall, kann man sie " zeichnen " ; dann sind diese Überschwinger der KSK gebändigt. Und siehe da; aus der strengen Monotonie folgt ihre Differenzierbarkeit .ü. mit Ableitung . ( Schau dir unbedingt die Definition an von .ü. und Nullmenge. ) Die KSK ist aber nirgends differenzierbar, auf KEINEM NOCH SO KLEINEN Intervall verläuft sie monoton. Ihre ( lokalen ) EXTREMATA LIEGEN DICHT. In der Zeitschrift Spektrum war dieser Plot mal abgebildet; du siehst echt nichts als eine mehr oder weniger einheitlich ausgeschwärzte Fläche; der Plot wirkt " spastisch " Trotzdem lässt sich die KSK als stetige Funktion integrieren und hat einen definierten Flächeninhalt - nur ihre Kurvenlänge ist unbestimmt, weil sie diese fraktale Dimension hat. Du siehst; irgendwo liegst du total falsch, weil du in deine Funktionen eine Art wohlanständigkeit hinein projizierst, die von den Voraussetzungen einfach nicht gegeben ist. Oder das hier; in anderem Zusammenhang stieß ich in Wiki auf ein Theorem, das im dornröschenschlaf ruht, obgleich jeder von uns es benutzt: " Sei stetig; dann liegt zwischen zwei lokalen Maxima immer ein lokales Minimum. " jeder denkt sofort an die Sinusfunktion. Gilt abrer auch für die KSK . |
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Vielen dank verstehe es jetzt |
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