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Riemannsche Zeta-Funktion

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

anonymous

13:36 Uhr, 18.11.2019

Sei

s > 1

. Die Riemannsche Zeta-Funktion ist definiert durch:

ζ(s)

= \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s}

Sei

X

auf

(Ω, A, P)

eine Zufallsvariable mit Werten in

ℕ

und Verteilung

P [X = n] = n^{- s} /

ζ(s) (das soll ein Bruch sein mit

n^{- s}

im Zähler und ζ(s) im Nenner)

Sei

E_{m}

das Ereignis "X ist teilbar durch m". Zeigen Sie:

a)

Für alle

m \in ℕ

ist

P [E_{m}] = m^{- s}

b)

Die Ereignisse

E_{p},

wobei

p

eine Primzahl ist, sind unabhängig

c)

Berechnen Sie

P [⋂_{p} E_{p}^{c}]

wobei

p

Primzahl, und folgern Sie die Eulersche Formel

1 /

ζ(s)

= \prod_{p} (1 - \frac{1}{p^{s}}),

wobei

p

Primzahl

- - -

Wir haben die Zeta Funktion noch nicht in der Vorlesung gehört, dennoch diese Aufgabe bekommen.. Dementsprechend stehen wir gerade sehr auf dem Schlauch.. Wir bräuchten einmal eine Erklärung am besten zu allem.. Wäre super, wenn sich einer dafür bereitfühlt.. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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