Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Riemannsche Zwischensumme

Riemannsche Zwischensumme

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

schalkeboy aktiv_icon

18:23 Uhr, 11.11.2015

Also die Riemannsche Zwischensumme ist ja so definiert.

Es sei

f \in R [a, b]

und wir haben eine Zerlegung des Integrals

[a = x_{0}, x_{1}, ..., x_{n - 1}, x_{n} = b]

Sei

z_{k} \in [x_{k - 1}, x_{k}]

beliebige Zwischenpunkte.

Dann konvergiert die Riemannsche Zwischensumme

\sum_{k = 1}^{n} f (z_{k}) \cdot (x_{k} - x_{k - 1}

gegen

\int_{a}^{b} f (x) d x

Also die Definition hab ich so einigermaßen verstande, weiß aber nicht wie ich es bei dieser Aufgabe anwenden soll.

Aufgabe:

Berechne den Wert der folgenden Ausdrucke, indem du sie als Riemannsche Zwischensummen ¨
interpretierst:

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n \cdot (n + k)}

also wie soll ich jetzt hier vorgehen?

und was meint mann eigentlich mit dem intervall

[x_{k - 1}, x_{k}]

. also was soll denn dieser Intervall? woher kommt das?

wir haben ja das intervall

[

a,b] aufgeteilt in

[a = x_{0}, ..., x_{n} = b]

aber was ist jetzt hier

x_{k}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:39 Uhr, 11.11.2015

Hier hast Du

[a, b] = [0, 1]

und

x_{k} = \frac{k}{n}

.
Bzw. wenn Du das so machst, bekommst Du die Riemannssummen für ein leicht zu berechnendes Integrall, nämlich für

\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x

.
Ich meine die Summen mit

z_{k} = x_{k}

ledum aktiv_icon

21:59 Uhr, 11.11.2015

Hallo
die eigentliche Antwort hast du ja,
jetzt zu

x_{k}

wenn du

x_{0}, x_{1}, - - - - - -, x_{n}

hasr wir das allgemeine Glied darin

x_{k}

(oft auch

x_{i})

genannt. du kannst ja für

k

jeden Wert von 1 bis

n

einsetzen und hast dann all Xen
Gruß ledum

schalkeboy aktiv_icon

22:05 Uhr, 11.11.2015

@ledum danke.

@DrBoogie, wie bist du drauf gekommen das

[a, b] = [0,1]

ist bei der Aufgabe.
du sagst

x_{k} = \frac{k}{n}

wie bist du drauf gekommen?

und woher sehen wir das

f (x) = \frac{x}{x + 1}

ist?

ledum aktiv_icon

01:00 Uhr, 12.11.2015

Hallo
wie wär es wenn du die Riemensumme zur gegebenen Funktion einfach mal aufschriebst? Vielleicht siehst du dann, wie man drauf kommt.
(allerdings ist die Aufgabe für den Einstieg recht schwer, wenn man erst

\frac{1}{n}

=Intervalllänge =x_k-x_(k-1)aus der Summe zieht sieht man es eher

DrBoogie aktiv_icon

07:27 Uhr, 12.11.2015

Ich bin so darauf gekommen: ich muss eine Summe der Art

f (z_{1}) (x_{1} - x_{0}) + f (z_{2}) (x_{2} - x_{1}) + . . . + f (z_{n}) (x_{n} - x_{n - 1})

haben. Meistens sind die Abstände

x_{i} - x_{i - 1}

gleich, also mit

d := x_{2} - x_{1}

ist es dann

d \sum_{k = 1}^{n} f (z_{k})

. Also brauche ich einen Faktor, der von

k

unabhängig ist, und ich habe ihn in diesem Fall, und zwar

d = \frac{1}{n}

. Das bedeutet

x_{k} = a + (b - a) \frac{k}{n}

, denn so ist

[a, b]

n

gleiche Intervalle aufgeteilt.
Es bleibt

\sum_{k = 1}^{n} f (z_{k}) = \sum \frac{k}{n + k}

. Also muss

f (z_{k}) = \frac{k}{n + k}

sein. Dabei muss

z_{k} \in [x_{k}, x_{k - 1}]

liegen. Also kann es auch z.B.

x_{k}

sein. Das wäre sogar die einfachste Wahl, also probiere ich sie:

f (x_{k}) = f (a + (b - a) \frac{k}{n}) = \frac{k}{n + k}

. Ich habe links

\frac{k}{n}

, es würde also helfen, rechts auch so umzuformen, dass da irgendwo

\frac{k}{n}

steht. Das geht so:

\frac{k}{n + k} = \frac{\frac{k}{n}}{1 + \frac{k}{n}}

(im Zähler und Nenner durch

n

geteilt). Nun habe ich rechts keine

a

und

b

, links aber doch. Wie ist der Ausweg? Ich setze einfach links

a = 0

und

b = 1

. Dann kommt

f (\frac{k}{n}) = \frac{\frac{k}{n}}{1 + \frac{k}{n}}

raus, also

f (x) = \frac{x}{1 + x}

.

Trotz dieser Erklärung, es bleibt eine kreative Aufgabe, welche man nicht nach Vorschrift lösen kann. Hier muss man analysieren und nach verdeckten Zusammenhängen suchen können.

schalkeboy aktiv_icon

16:05 Uhr, 12.11.2015

alles klar, verständlich erklärt, aber paar 2 Sachen hab ich noch nicht verstanden.

d = x_{2} - x_{1}

aber wie kommst du nur drauf das

d = \frac{1}{n}

ist?

wie bist du drauf gekommen,

x_{k} = a + (b - a) \cdot \frac{k}{n}

DrBoogie aktiv_icon

16:12 Uhr, 12.11.2015

Wie gesagt,

d

muss ein Faktor sein, der von

k

unabhängig ist. Außer

\frac{1}{n}

gibt's keinen Kandidaten.
Dass

x_{k} = a + (b - a) \frac{k}{n}

die Zerlegung von

[a, b]

n

gleiche Intervalle darstellt, kannst Du direkt nachprüfen. Eigentlich solltest Du das auch wissen, dass wird in der Integrationstheorie oft benutzt.

schalkeboy aktiv_icon

16:13 Uhr, 12.11.2015

Alles klar, dankeschön.

1267297

1267036

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?