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Ringe und Körper

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Ringe

Tags: Gruppen, Körper, Ring

Mr-Maths aktiv_icon

22:25 Uhr, 06.11.2015

Hallo,

nun gibt es auch neben Gruppen noch Körper und Ringe, wo statt nur einer Verknüpfung zwei Verknüpfungen definiert werden.

Allgemeine Definition des Rings:
Sei

(R, +, *)

ein Ring, dann muss

(R, +)

eine abelsche Gruppe und

(R, *)

eine Halbgruppe sein.
"Spezialfälle": Ist

(R, *)

eine albelsche Halbgruppe, so nennt man das einen kommutativen Ring.
Und ist

(R \ {0}, *)

ein Monoid, dann nennt man das einen Ring mit Eins. Das Neutralelement wird hier auch "Einselement" genannt und im übrigen bei der ersten Verknüpfung auch mal "Nullelement".

Auf die Reihenfolge der Verknüpfungen muss außerdem noch geachtet werden! Und die zwei Verknüpfungen müssen distributiv zueinander sein.

Allgemeine Definition des Körpers:
Sei

(K, +, *)

ein Körper, dann muss

(K, +)

eine abelsche Gruppe und

(K \ {0}, *)

ebenfalls eine abelsche Gruppe sein. Also im Prinzip ein kommutativer Ring, wo die 2te Verknüpfung eine abelsche Gruppe ist, sowas nennt man Körper.

Eigentlich ganz einfach. Alles richtig? Wenn was Wichtiges fehlt, bitte sagen.

Frage dazu:
Statt + und * kann man ja auch irgendwelche Verknüpfungen nehmen, aber wird von dem oft Gebrauch gemacht?
Denn meistens wird ja einfach (K,+,*) zu einem "Standard-Körper", wo man einfach Vektor- oder Matrizenmultiplikation zeigen kann etc.

Gruß
Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

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22:38 Uhr, 06.11.2015

"Wenn was Wichtiges fehlt, bitte sagen."

Distributivgesetze.

"Statt + und * kann man ja auch irgendwelche Verknüpfungen nehmen"

Kann man, + und * sind nur Bezeichnungen. Wichtig ist nur, dass + kommutativ ist. Und das + und * über Distributivgesetze verknüpft sind.

Mr-Maths aktiv_icon

23:38 Uhr, 06.11.2015

Ahja, genau. Beim Ring als auch beim Körper müssen die Distributivgesetzte zwischen der ersten und der zweiten Verknüpfung gelten.

Okay, dazu ein Beispiel im Anhang.
V ist also eine Menge mit den Elementen +,- und 0. Die Verknüpfungen *(+ mit Kries) und o(. mit Kreis) sind durch die Tabellen hier defniniert.
Naja sei

f : ℝ \to V

und zu zeigen ist der Homomorphismus zwischen den Ringen und, ob (V,*,o) überhaupt ein Ring ist.

Naja Ringhomomorphismus ist doch dasselbe wie Gruppenhomomorphismus, nur mit mehreren Verknüpfungen. Also wir haben die Ringe (\mathbb R,+,.) und

(V, *, o)

f (a + b) = f (a) * f (b)

f (a . b) = f (a) o f (b)

Der zweite Teil ist es, zu zeigen, dass

(V *, o)

ein Ring ist.

Jetzt mal pauschal gesagt:
Also für den zweiten teil muss ich einfach Verknüpfungen aus den Tabellen nehmen und zeigen das dasse in Ring ist?
Und für den ersten Teil auch?
Also kann ruhig konkrete Beispiel hier aus den Tabellen beziehen und mit denen Arbeiten? Für das ist sie doch da denke ich^^.

DrBoogie aktiv_icon

08:41 Uhr, 07.11.2015

"Also für den zweiten teil muss ich einfach Verknüpfungen aus den Tabellen nehmen und zeigen das dasse in Ring ist?"

Ja.
Und für den ersten musst Du prüfen, ob

f (a + b) = f (a) \oplus f (b)

und

f (a \cdot b) = f (a) ⊙ f (b)

für

f (x) = s g n (x)

Mr-Maths aktiv_icon

09:19 Uhr, 07.11.2015

Hm (V,

\oplus

⊙

) ist doch gar kein Ring, denn:
+

\oplus

+ = +
+

\oplus

- = 0
+

\oplus

0 = +
-

\oplus

0 = -

Also aus dem entnehme ich, dass + das Inverse von - ist bzw. auch umgekehrt. Und 0 ist das Neutralelement.

Und (+

\oplus

\oplus

0 = 0 und +

\oplus

\oplus

0) = + --> Es kann schonmal keine abelsche Gruppe sein. Es ist nicht mal eine Halbgruppe, da keine Assoziativität da ist.

Stimmt so oder?

DrBoogie aktiv_icon

09:27 Uhr, 07.11.2015

Ich komme auf

+ \oplus (- \oplus 0) = 0

DrBoogie aktiv_icon

09:31 Uhr, 07.11.2015

Aber die Idee ist richtig, denn sie ist nicht assoziativ.

(+ \oplus +) \oplus - = + \oplus - = 0 \neq + \oplus (+ \oplus -) = + \oplus 0 = +

Mr-Maths aktiv_icon

09:36 Uhr, 07.11.2015

Oh, ahja.

D.h. bei so einer Verknüpfungstabelle muss man im Prinzip alle Möglichkeiten durchgehen, um endgültig zu wissen, ob es nun assoziativ etc. ist?

Naja gut jetzt wissen wir, dass (V,

\oplus

⊙

) kein Ring ist, also besteht doch überhaupt kein Ring-Homomorphismus.

D.h. für Teil eins kann ich sagen: "Da laut Teil-2 (V,

\oplus

⊙

) kein Ring ist, kann laut Definition des Ring-Homomorphismus signum nicht homomorph sein."

DrBoogie aktiv_icon

09:58 Uhr, 07.11.2015

"D.h. bei so einer Verknüpfungstabelle muss man im Prinzip alle Möglichkeiten durchgehen, um endgültig zu wissen, ob es nun assoziativ etc. ist?"

Ja.

"D.h. für Teil eins kann ich sagen: "Da laut Teil-2 (V,⊕,⊙) kein Ring ist, kann laut Definition des Ring-Homomorphismus signum nicht homomorph sein."

Kann man. Allerdings ist die Aufgabe so gestellt, dass vermutlich erwartet wird, dass

f (a + b) = . . .

und

f (a \cdot b) = . . .

auch geprüft wird.

Mr-Maths aktiv_icon

10:54 Uhr, 07.11.2015

Hm jetzt mal ganz konkreten Beispielen:
Sei

a, b \in ℝ

f : ℝ \to V

und z.b. a=3 und b=4.

f (3 + 4) = f (3) \oplus f (4)

f(7) = +, laut definition von der Aufgabe. Und

+ \oplus + = +

.

Okay das stimmt sogar.

f (3 \cdot - 4) = f (3) ⊙ f (- 4)

\to - = -

/ Stimmt auch.

f (- 3 \cdot - 4) = f (- 3) ⊙ f (- 4)

\to + = +

/ Stimmt ebenso.

Naja ich habe das Gefühl, dass ich da irgendwie ein Beispiel finden muss, wo man die "Nicht-Assoziativität" sieht.

Aber z.B. f(0)=0, stimmt doch auch, denn "Null" hat doch keine Vorzeichnen und dadurch bekomme ich auch "Null" wieder. Und beide sind Neutralemente von + und

\oplus

. Also das stimmt auch schon mal. Wenn ich jetzt nicht wüsste, dass

V (\oplus, ⊙)

kein Ring ist, würde ich sagen, dass das Homomorph ist, kann es auch sein, dass das isomorph wäre?

Was ist mit

⊙

und

\dot{}

? Laut Definition des Ringen soll ja die 2. Verknüpfung einer Halbgruppe sein, d.h. es ist kein neutral Element und Inverses vorhanden. Wie kann dann Homomorphie gelten?
Laut Homomorphie muss doch das Neutralelement von

\cdot

auf

⊙

"gemapped" sein? Also zumindest ist das bei Gruppenhomomorphismus so, oder gilt das bei Ringen nur für die 1. Verknüpfung, denn die muss ja eine abelsche Gruppe sein?

Mr-Maths aktiv_icon

15:15 Uhr, 14.11.2015

Ok, wir mussten das nicht mal beweisen.

Eine Frage zu den Produkt von zwei Ringen R1 und R2. Hier meint man ja das kartesische Produkt R1xR2, richtig? Angenommen R1 und R2 sind ringe mit der Addition und Multiplikation.

Dann muss

(a 1, a 2) + (b 1, b 2) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2)

sein. Und

(a 1, a 2) * (b 1, b 2) = (a 1 * b 1, a 2 * b 2)

Also a1,b1 sind Elemente von R1 und a2,b2 sind Element von R2.

D.h. man bildet dann neue Paare wie

(a 1 * b 1, a 2 * b 2)

und

(a 1 + b 1, a 2 + b 2)

des Ringes

R 1 x R 2

. und mit denen kann man dann auch wieder Multiplizieren und addieren, wie bei einem Standard-Ring. Soweit richtig verstanden?

DrBoogie aktiv_icon

16:11 Uhr, 14.11.2015

Ja, richtig verstanden.

Mr-Maths aktiv_icon

20:17 Uhr, 14.11.2015

Okay jetzt gehts um den Beweis, dass R1xR2 ein Ring ist. Nennen wir R3:=R1xR3

Die erste Verknüpfung des Rings muss eine abelsche Gruppe und die zweite Verknüpfung eine Halbgruppe sein.
Also (R3,+) --> abelsche Gruppe
und (R3\{0},*) --> abelsches Monoid
Naja das ist ein kommutativer Ring mit Eins, was bereits schon ein Körper.

Hm, das ist mir nicht ganz klar, wie ich anfangen soll.

Reicht es zu beweise, dass (R3,+) eine abelsche gruppe ist und (R3\{0},*) ein abelsches Monoid?

Also für (R3,+) assoziativität, kommutativität, inverse, neutral element etc. zeigen, d.h. elemente (a1+b1)+(c1+d1)=(c1+d1)+(a1+b1) für kommutitvität etc. (a1,b1,c1,d1 sind ja Element aus R1, aber a1+b1,c1+d1 Elemente aus R3)

Ist die vorhergehensweise richtig so?

DrBoogie aktiv_icon

20:21 Uhr, 14.11.2015

"Naja das ist ein kommutativer Ring mit Eins, was bereits schon ein Körper."

Ein kommutativer Ring mit Eins ist noch kein Körper.

"Ist die vorhergehensweise richtig so?"

Richtig, wie kann es falsch sein? Einfach mechanisch alle Eigenschaften nachprüfen. Macht man normalerweise nicht, übrigens, weil sie offensichtlich erfüllt sind. Aber wenn man viel schreiben mag, warum nicht. :-)

Mr-Maths aktiv_icon

20:23 Uhr, 14.11.2015

Ok, danke.

Dachte, es ist schon zu einfach, um wahr zu sein :-D).

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