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Ringhomomorphismus

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Restklassenring, Ringhomomorphismus

kimmathe aktiv_icon

21:25 Uhr, 06.11.2023

Sei

R

ein Ring mit Einselement

1 R,

und sei

n

∈

N

eine natürliche Zahl. Es gelte

n

1 R = 0

im Ring R. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus φ: Z/nZ →

R

gibt, der die Eigenschaft φ(¯1)

= 1 R

hat.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

21:44 Uhr, 06.11.2023

Hallo,

ich würde mir die Sache insofern einfach machen, als dass ich Existenz und Eindeutigkeit unabhängig voneinander zu beweisen versuchte.

Existenz sollte einfach sein:

φ (\overline{x}) := x \cdot 1_{R}

Nachzuweisen sind:
* Wohldefiniertheit
* Ringisomorphismus
*

φ (\overline{1}) = 1_{R}

Eindeutigkeit: Gelte

ψ (\overline{1}) = φ (\overline{1})

und sei

\overline{x} \in ℤ / n ℤ

.

Dann gibt es ein

k \in ℕ

mit

0 \leq k < n

, sodass

\overline{x} = \overline{k}

.

Es gilt

\overline{x} = \overline{k} = \sum_{j = 1}^{k} \overline{1}

und demnach

ψ (\overline{)} = ψ (\sum_{j = 1}^{k} \overline{1}) = \sum_{j = 1}^{k} ψ (\overline{1}) = k \cdot 1_{R}

.
Ebenso

φ (\overline{x}) = k \cdot 1_{R}

und damit

ψ (\overline{x}) = φ (\overline{x})

, d.h.

ψ = φ

.

Falls nicht klar sein sollte, was unter

k \cdot 1_{R}

zu verstehen ist, dann müsste man vielleicht vorab

k \cdot 1_{R}

rekursiv als

(k - 1) \cdot 1_{R} + 1_{R}

mit

1 \cdot 1_{R} = 1_{R}

definieren.

Mfg Michael

kimmathe aktiv_icon

22:57 Uhr, 06.11.2023

Vielen Dank für die Hinweise! Leider bin ich in diesem Bereich ziemlich verloren und verstehe trotzdem nicht so ganz wie ich die Beweise führen soll.

viele Grüsse

michaL aktiv_icon

16:02 Uhr, 07.11.2023

Hallo,

Wohldefiniertheit geht (in diesem Falle) so:

Gelte

\overline{x} = \overline{y}

(aber eben nicht notwendigerweise

x = y

).

Das ist genau dann der Fall, wenn

n ∣ x - y

. D.h. wir können, nachdem wir oBdA

y > x

angenommen haben,

y = x + z \cdot n

mit

z \in ℕ

schreiben.

Es gilt dann

φ (\overline{x}) = x \cdot 1_{R}

.
Weiter gilt:

φ (\overline{y}) = y \cdot 1_{R} = (x + z \cdot n) \cdot 1_{R} = x \cdot 1_{R} + z \cdot (n \cdot 1_{R}) = x \cdot 1_{R} + z \cdot (0_{R}) = x \cdot 1_{R} + 0_{R} = x \cdot 1_{R} = φ (\overline{x})

. (Und das war zu zeigen!)
(Hier wird eine Abbildung für Restklassen definiert, indem man auf einen Repräsentanten dieser Restklasse zurückgreift. Es muss dann gezeigt werden, dass man das gleiche Ergebnis erhält, wenn man einen anderen Repräsentanten dieser Restklasse verwendet.)

Zu Ringhomomorphismus musst du mir wenigstens erklären, welche Axiome dafür geprüft werden müssen.

Mfg Michael

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