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Ringhomomorphismus, Ideale, Einheiten, Polynome

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Tags: Einheit, Gruppen, Homomorphismus, Ideal, Irreduzibilität von Polynomen, Körper, polynom, Relation., Ring, Ringhomomorphismus

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17:37 Uhr, 10.01.2016

Im Polynomring

R = ℚ [x]

betrachten wir die Teilmenge

S = {g \in R | g (0) \neq 0}

. Die Äquivalenzklasse eines Paares

(f, g)

aus

R \times S

bezeichnen wir kurzerhand mit

\frac{f}{g}

. Wie bei der Konstruktion von

ℚ

aus

ℤ

kann dann verifiziert werden, daß die Menge

T

aller Äquivalenzklassen einen kommutativen Ring mit Eins bildet bzgl. der Verknüpfungen

\frac{f_{1}}{g_{1}} + \frac{f_{2}}{g_{2}} = \frac{f_{1} g_{2} + f_{2} g_{1}}{g_{1} g_{2}}

und

\frac{f_{1}}{g_{1}}

\frac{f_{2}}{g_{2}} = \frac{f_{1} f_{2}}{g_{1} g_{2}}

für alle

f_{i} \in R, g_{i} \in S

1)

Zeigen Sie, daß ein inzentiver Ringhomomorphismus

R \to T

gegeben ist durch

f \mapsto \frac{f}{1}

Im folgenden identifizieren wir daher

R

mit seinem Bild in

T

unter diesem Homomorphismus.

2)

Bestimmen Sie alle Einheiten in

T

. Ist

T

ein Körper?

3)

Zeigen Sie, daß das Polynom

x

aus

R

irreduzibel in

T

ist.

4)

Zeigen Sie, daß jedes Element

t

aus

T \ {0}

eine Darstellung der Form

t = a \cdot x^{n}

hat, wobei

a \in T^{\times}

und

n \in ℕ

eindeutig durch

t

bestimmt sind.

5)

Bestimmen Sie alle Ideale in

T

.

Mir sagen zwar alle Begriffe was, aber leider weiß ich trotzdem nicht, was ich machen soll.
Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

09:20 Uhr, 11.01.2016

Diese Konstruktion heißt "Körper der rationalen Funktionen". Also, wenn Du danach suchst, findest Du bestimmt einen Text im Netz, wo das alles bewiesen wird.

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