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Ringhomomorphismus und Ideal

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Homomorphismus, Ideal, Ring, Ringhomomorphismus

MatheWRJ aktiv_icon

15:47 Uhr, 07.04.2017

Hallo Zusammen, ich habe die folgende Aufgabe gestellt bekommen, und kann sie aktuell nicht lösen. Ich habe versucht sie zu lösen, indem ich sie mir auf Mengenebene vorgestellt habe, aber komme nicht wirklich weiter. Wir behandeln das Problem in linearer Algebra und nicht in Algebra selbst.

Sei

d

und

e

Ideale eines Ringes

R

mit

d

Teilmenge von

e

. Zeigen Sie, dass

\frac{e}{d}

ein
Ideal des Ringes

\frac{R}{d}

ist und

f : \frac{\frac{R}{d}}{\frac{e}{d}} \to \frac{R}{e}; f : ((x + d) + (\frac{e}{d})) := x + e

ein Ring-Isomorphismus ist.

Über Hilfe würde ich micht sehr freuen. Ich habe die Aufgabe als Foto nochmal angehangen.

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

17:22 Uhr, 07.04.2017

Hallo,

erst einmal zur Aussage, dass

b / a

ein Ideal in

R / a

ist:

1. Additive Abgeschlossenheit:
Seien

b_{1} + a, b_{2} + a \in b / a

mit

b_{1}, b_{2} \in b

.
Da

b

ein Ideal ist, gilt

b_{1} + b_{2} \in b

, also

(b_{1} + a) + (b_{2} + a) = (b_{1} + b_{2}) + a \in b / a

.

2. Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit Ringelementen:
Sei

b + a \in b / a

und

r + a \in R / a

. Da

b

ein Ideal ist, gilt

r b \in b

, folglich:

(r + a) (b + a) = (r b) + a \in b / a

.

... Rest kommt später !

Gruß ermanus

MatheWRJ aktiv_icon

21:48 Uhr, 08.04.2017

Hey, danke für deine Hilfe!

Grüße WRJ

ermanus aktiv_icon

12:06 Uhr, 09.04.2017

Kennt ihr folgenden Homomorphiesatz (Isomorphiesatz)
für kommutative Ringe?

Sei

f : R \to S

ein Ringhomomorphismus, dann gilt:

φ : R /

Kern

(f) ≅ f (R)

.

Hierbei ist Kern

(f) = {x \in R ∣ f (x) = 0}

ein Ideal.

Ist insbesondere

f

surjektiv, so hat man:

φ : R /

Kern

(f) ≅ S

.

Betrachte den kanonischen Homomorphismus

f : R / a \to R / b

und wende den Homomorphiesatz an.

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